导图社区 函数,极限,连续
关于函数,极限,连续的思维导图,•函数是一种特殊的关系,将一个自变量的取值对应一个因变量的取值。 函数可以表示为 y = f(x),其中 x 表示自变量,y 表示因变量,f 表示函数关系。
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第一章:函数,极限,连续
函数
函数概念
• 函数是一种特殊的关系,将一个自变量的取值对应一个因变量的取值。
• 函数可以表示为 y = f(x),其中 x 表示自变量,y 表示因变量,f 表示函数关系。
分类
1.分段函数
- 分段函数是由多个定义在不同区间上的函数组成的函数。
- 分段函数的图像通常在断点处有“跳跃”现象。
2.复合函数
3.反函数
4.初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
掌握arcsinx,arccosx,arctanx基本定义域,值域,图像
5.隐函数
6.参数方程
7.幂指函数
8.特殊函数
符号函数
取整函数
性质
单调性
题型:讨论单调性
奇偶性的判定
奇偶性的运算
偶函数+偶函数=偶函数
奇函数+奇函数=奇函数
奇函数*奇函数=偶函数
奇函数*偶函数=奇函数
偶函数*偶函数=偶函数
周期性判定
有界性的判定
极限
数列极限
局部有界性
如果数列无界,那么数列一定发散(反之不成立)
保号性
• 保号性质指如果数列(a[n])保持着正号或者负号并趋于0,那么极限也是非负数或者非正数。
• 这个性质通常用于证明数列的极限不存在,或者为0的情况。
判断数列极限存在
一个数列的奇偶数列均存在且相等,则数列极限存在
单调有界准则:常用于递推关系x(n+1)=f(xn)所定义的数列极限
单调
求导(只能证明单不单调)具体还要看两项之间的大小
两项想减或相除
注:单调性不用关心前有限项单增单减,看后面从某一项开始到无穷单增或单减即可
有界
单调有界数列必有极限,即单调增,有上界,单调减有下界的数列必有极限
夹逼准则:常用于n项和的数列极限
求数列极限
不定式
求数列不定式极限和求函数不定式极限的方法相同,但是用洛必达法则时需要先把其转化为函数极限
n项和的数列极限
夹逼定理
定积分定义
级数求和
n项连乘的数列极限
取对数化为n项和
递推关系(单调有界准则求极限)
函数极限
有界性
x趋于x0时,如果函数极限存在,则在x0某去心邻域有界(局部有界)(反之不成立)
函数:本质:极限正负与函数正负建立联系(局部保号性)
极限与无穷小的关系
证明极限存在(与数列方法相同)
夹逼定理证明极限存在
单调有界证明极限存在
数列,函数均适用
求函数极限各题型
0/0型
出现两个值的差考虑用拉格朗日中值定理
∞/∞型
1的∞型
∞减∞型
0*∞
化为前两种形式
求极限方法
八大方法
利用四则运算求极限
极限存在+极限存在=极限存在
利用两个重要极限以及一些基本公式
利用等价无穷小的替换
利用洛必达法则
利用夹逼定理
看能不能提出可爱因子,提出后式子每项基本形式一致就用定积分做,做得更快,没规律就用夹逼
利用无穷小的性质
无穷小*有界=无穷小0,与四则运算相结合
利用函数的连续性求极限
利用定积分定义
“可爱因子”,然后确定定积分上下限
利用泰勒公式求极限
与等价无穷小相联系,若不能用等价无穷小可以考虑泰勒公式
利用单调准则求极限
利用中值定理求极限
概念,基本结论
无穷
无穷小
概念
常考题型:无穷小的比较
无穷大
比较
无穷之间的关系
无穷大与无穷小的关系
无穷大与无界变量的关系
连续
夹逼定理和定积分定义法的选取