导图社区 考研高数总复习思维导图
再不看看这份思维导图就晚了!考研数学是一门很重要的学科,也是特别难的学科,有很多学生因为上大学时数学基础不好,就在考研时选择不会考数学的专业,现在有了这份思维导图就不用再担心啦!跟着这份思维导图轻松解决极限、积分、微分、空间解析几何、无穷级数等问题,喜欢的小伙伴可以点个赞哦!
编辑于2020-04-08 21:49:14高等数学
极限
无穷小比阶 lim β/α
0,β=o(α)高阶无穷小
k(≠0), 同阶无穷小
1,α~β 等价无穷小
无穷, 低阶无穷小
性质
一般性质
唯一性:极限存在即唯一
保号性:极限正(负),则去心领域正(负)
存在性质
夹逼定理
分子或分母次数不齐
单调有界准则
单调递增有上界
单调递减有下界
两个重要极限

七种未定式

( )-1





凑重要极限
恒等变形


麦克劳林公式(x趋于0)







间断
第一类
可去间断点
跳跃间断点
第二类
无穷间断点
震荡间断点
闭区间上连续函数的性质
最值定理
有界定理
零点定理

介值定理

函数值相加
微分
一元微分
导数
微分定义

dy=Adx
导数定义

可导必连续,反之不对
|f(x)| 在x=a处的可导性
f(a)≠0,|f(x)| 在x=a处可导
f(a)=0

可导

不可导
★基本求导公式
四则运算
反函数求导


隐函数求导
参数方程求导
分段函数求导
高阶导数
归纳法
公式法





泰勒公式法
★微分中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理

柯西中值定理

型

罗尔定理
介值定理
只有中值ξ,无a、b
还原法

分组法
有中值ξ,有a、b
ξ与a、b可分
ξ与a、b分离
a、b侧(拉式、柯西)
ξ与a、b不可分
ξ改为x
式子=0
( )的导数为0
双(多)中值ξ、η
仅有导数
找三点
两次拉式
ξ、η复杂程度不同
留复杂(拉式、柯西)
ξ、η两对应项完全对等
就ξ构造辅助函数,两次拉式
泰勒公式

极值点
存在性
驻点:一阶导数为0
一阶导数不存在
判别法
第一判别法(左右邻域一阶导数异号)
第二判别法(一阶导为0,二阶导不为0)
渐近线
水平渐近线 y=A

铅垂渐近线 x=B

斜渐近线 y=kx+b

弧微分
ds、dx、dy构成的直角三角形(勾股定理)

直角方程

参数方程

极坐标方程

曲率
曲率K
直角方程

参数方程

曲率半径R
R=1/K
多元微分
偏导数
定义


求偏导
显函数
复合函数
隐函数
全微分




代数应用——极值
无条件极值
求z=f(x,y)的定义域D(开区域)
求出z=f(x,y)驻点
偏导为0
判别法AC-B²
<0,不是
>0,是
A>0,极小点
A<0,极大点
条件极值φ(x,y)=0
拉格朗日乘数法
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

思路
消 λ
求 λ
参数法
令x=x(t),y=y(t)代入z=f(x,y)
微分方程
一阶微分方程
可分离变量型

解法
(1)分离变量
(2)两边积分
齐次微分方程

解法

一阶齐次方程

通解

一阶非齐次方程

通解

伯努利方程

解法

代入原方程,得一阶非齐次,再根据一阶非齐次通解求出
全微分方程
可降阶的微分方程

n次不定积分即可求解
缺x型


缺y型


高阶微分方程
概念
n阶齐次线性微分方程

n阶非齐次线性微分方程

解的结构与性质
高阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程

特征方程


>0


=0


<0


二阶常系数非齐次线性微分方程


特解

k=
0,λ不是特征方程的根
1,λ是特征方程的单根
2,λ是特征方程的重根

特解

k=
0,λ±wi不是特征根
1,λ±wi是特征根
欧拉方程

解法

空间解析几何
理论
基本概念
向量的坐标形式
向量的模

方向角与方向余弦
向量的运算刻划
几何刻划
数量积(点乘)
向量积(叉乘)
代数刻划


性质





应用
Σ:F(x,y,z)=0 空间曲面
特殊曲面
柱面
Σ:F(x,y)=0
缺z,则母线平行于z轴
旋转曲面
二维空间


三维空间
平面(退化)
点法式

截距式

一般式

空间曲线
形式
一般形式
L:F(x,y,z)、G(x,y,z)=0
参数形式
L:x=φ(t)、y=ψ(t)、z=ω(t)
直线(退化)
点向式

参数式

一般式

距离
两点之距

点到平面之距

两平行平面之距

点与直线之距

异面直线之距

夹角
两向量
两直线
两平面
直线与平面
级数
常数项级数
基本概念
常数项级数

部分和

性质




级数增加、减少、改变有限项不改变级数的收敛性
添加括号提高级数的收敛性
级数收敛的必要条件

两个重要级数
P级数

收敛,p>1
发散,p≤1
p=1时,调和级数,发散
几何级数

发散,|p|≥1
收敛,|p|<1
正项级数
概念

审敛法
比较法
比值法

收敛,ρ<1
发散,ρ>1
不用此法,ρ=1
适用:有阶乘
根值法

收敛,ρ<1
发散,ρ>1
不用此法,ρ=1
适用:有n次方
交错级数
概念



莱布尼茨审敛法
条件


结论

绝对收敛
条件收敛
幂级数
基本概念


收敛半径与收敛域
阿贝尔定理
收敛半径R≥0
绝对收敛,|x|<R
发散,|x|>R
单独讨论,|x|=R

分析性质
逐项可导性

逐项可积性

收敛半径还是R
泰勒级数

★麦克劳林级数
和函数S(x)


傅里叶级数
f(x)以2π为周期
f(x)定义于[-π,π](非周期)
f(x)定义于[0,π](非周期)
积分
不定积分
★基本积分表
积分法
换元积分法
第一类:凑微法
第二类
三角代换
根式代换
倒代换
分部积分法(反对幂指三)
直接分部积分
多次分部积分
循环积分
相消积分
有理函数积分
假分式
真分式
定积分
基本性质

积分中值定理

积分中值定理的推广
柯西不等式
特殊性质
对称区间

★三角函数
周期函数
几何应用
面积
直角坐标


极坐标


侧面积
直角坐标

参数方程

体积
绕x轴

绕y轴

曲线长度
广义积分

收敛,p>1
发散,p≤1

收敛,p>1
发散,p≤1

收敛,λ>0
发散,λ≤0

收敛,p<1
发散,p≥1
Γ函数

Γ 函数性质与特殊值



重积分
二重积分


性质

二重积分中值定理

对称
D关于y轴对称
D关于x轴对称
偶倍奇零
D关于y=x对称

D关于y=-x对称

计算
直角坐标法
X型
Y型
极坐标法
特征
D边界
f(x,y)

变换

应用
几何应用
平面区域的面积

曲顶柱体的体积

空间曲面的面积

物理应用
重心坐标


转动惯量
D绕x轴

D绕y轴

D绕z轴

D绕l

三重积分

性质

对称性
Ω关于x0y面对称
Ω关于y0z面对称
Ω关于x0z面对称
偶倍奇零
计算法
直角坐标法
铅直投影法
★切片法
柱面坐标变换法
球面坐标变换法
曲线积分
第一类:对弧长的曲线积分
背景:曲线段的质量

性质

对称性
L关于y轴对称
L关于x轴对称
偶倍奇零
L关于y=x对称

计算法
替代法
曲线段L的方程代入被积函数
定积分法
直角方程
L:y=φ(x) (a≤t≤b)
ds用弧长公式展开为dx表示
参数方程
L:x=φ(t)、y=ψ(t) (α≤t≤β)
ds用弧长公式展开为dt表示
第二类:对坐标的曲线积分
背景:做功的问题
定义
二维

三维

性质


计算法
二维
定积分法
直角方程
L:y=φ(x)
起点对应x=a,终点对应x=b
dy=φ´(x)dx
参数方程
L:x=φ(t)、y=ψ(t)
起点对应t=α,终点对应t=β
dx=φ´(t)dt、dy=ψ´(t)dt
二重积分法(格林公式)
条件
D为连通区域,L为D的正向边界
P(x,y)、Q(x,y)在D上连续可偏导
结论

三维
曲面积分
第一类:对面积的曲面积分
背景:曲面Σ的质量m
性质

对称性
Σ关于x0y面对称
Σ关于y0z面对称
Σ关于x0z面对称
偶倍奇零
计算法
替代法
曲线段Σ的方程代入被积函数
二重积分法
Σ:z=φ(x,y) (x,y)∈Dxy


第二类:对坐标的曲面积分
背景:流量
对称性
Σ关于x0y面对称
Σ关于y0z面对称
Σ关于x0z面对称
偶零奇倍
计算法
二重积分法

缺z,从z+方向看
Σ:z=φ(x,y) (x,y)∈Dxy

“上”正,“下”负

缺x,从x+方向看
Σ:x=φ(y,z) (y,z)∈Dyz

“前”正,“后”负

缺y,从y+方向看
Σ:y=φ(x,z) (x,z)∈Dxz

“右”正,“左”负
三重积分法(高斯公式)


X→+∞:指>>幂>>对