第九章多元函数微分法及其应用

高等数学下册第九章多元函数微分法及其应用知识点总结！隐函数求导、多元微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值、偏导数等内容全部都可以在下图中找到相对应的知识要点。

九、多元函数微分法及其应用

• 多元函数基本概念
  • 平面点集，n维空间
    • 内点、外点、边界点、聚点
    • 开集、闭集、连通集、 开区域、闭区域、有界集、无界集
  • 多元函数的概念
    • 定义域、值域、自变量、因变量
    • 二元函数的图形为曲面
    • n元函数
  • 多元函数的极限
    • 定义
    • 运算法则
  • 多元函数的连续性
    • 定义
    • 多元函数的间断点
    • 性质
      • 有界性与最大最小值定理
      • 介值定理
      • 一致连续性定理
• 偏导数
  • 定义
    • 对某个自变量的偏导函数
  • 计算方法
  • 高阶偏导数
    • 二阶偏导数
    • 混合偏导数
      • 若二阶混合偏导在区域内连续，则两个二阶混合偏导相等
  • 几何意义
• 全微分
  • 定义
    • 偏增量
    • 偏微分
    • 全增量
    • 全微分
  • 公式
  • 函数可微的必要条件
    • 若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在
  • 函数可微的充分条件
    • 若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。
  • 近似计算
• 多元复合函数求导法则
  • 一个自变量
  • 多个自变量
  • 抽象复合函数求偏导
  • 全微分不变性
• 多元函数的极值
  • 极值与极值点
  • 极值存在的必要条件
  • 极值存在的充分条件
  • 条件极值
    • 单个约束条件
    • 多个约束条件
    • 拉格朗日乘数法
  • 多元函数极值的应用
• 方向导数与梯度
  • 方向导数存在定理
  • 方向导数的计算
  • 梯度的意义
    • 等值面
    • 等值线
  • 方向导数和梯度的区别与联系
• 多元微分学的几何应用
  • 一元向量值函数及其导数
    • 定义
    • 向量值函数的极限和连续性
    • 导向量
  • 空间曲线的切线和法平面
    • 由参数方程确定的形式
    • 由方程组确定的形式
  • 曲面的切平面与法线
    • 一般方程形式
    • 参数方程形式
    • 法向量的方向余弦
• 隐函数求导
  • 一个方程的情形
    • 隐函数存在定理
  • 方程组的情形
    • 函数行列式的计算