高数思维导图

解题思路的整理，后续会继续更新，考研加油，共勉

高数

• 第一章 极限与连续
  • 极限
    • 定义
      • 极限存在的必要条件是左极限和右极限存在且相等。
      • 无穷小（都趋近与0）也就是分子分母此时都为0
        • 0高阶无穷小
        • k同阶无穷小
        • 1等阶无穷小
        • 
    • 性质
      • 唯一性
      • 保号性(判断是否极值点)
        • 当去心领域极限为正。极限>零。通过变换极限。得到Fx
      • 有界性
        • 数列极限有界性
        • 函数极限局部有界性，函数有极限就有界，反之不可
      • 若列极限存在，则任意子列存在相同的极限。反之不存不一定存在
      • 复合运算中，极限为最外层函数的极限
      • 极限存在准则
        • 单调有界的数列必有极限
        • n项和或积的极限计算
          • 定积分：分子分母次数都齐（内部齐），可以提出n分之一
          • 夹逼定理
  • 连续与间断
    • 连续
      • 充分必要条件--左=右=函数值。
      • 
    • 间断点的分类（前提为不连续）
      • 第一类间断点：a处左极限右极限都存在
        • 可去间断点--左＝右≠函数值
        • 跳跃间断点--左≠右
      • 第二类间断点：左右极限至少一个不存在
    • 连续函数的性质(命题为：都关于【a，b】内连续)
      • 单Fa，变换建立新函数
        • 最值定理
        • 零点定理：(a,b)
        • 介值定理：【a，b】函数值相加条件。
      • 双Fa+Fb
        • 有界定理
• 第二章 导数与微分
  • 导数（前提Fx连续）
    • 存在的条件：左导数极限等于右导数极限
    • Fx可导即Fx处处有导数；Fx连续可导即f＇x为连续函数。
  • 微分
    • 可微代表可以用以直代曲
  • 题型
    • 
• 第三章 一元函数微分学应用
  • 中值定理
    • 拉格朗日
      • 闭连续、开可导
    • 罗尔定理
      • 闭连续、开可导、端点相等
    • 柯西中值定理
      • 俩函数闭连续、开可导、分母不为零
    • 洛必达
    • 泰勒中值定理（提高描述的精度）
  • 单调性、极值、凹凸性与拐点函数作图。
    • 极值判断
      • 利用极限的保号性
      • 函数在x0处二阶可导，且导数为零
        • 二阶导＞0,极小点
        • 二阶导＜0，极大点
      • 泰勒公式
        • 条件（在领域内n+1次课导）
        • 麦克劳林求极限
    • 凹凸性与拐点
      • 凹凸性：（俩点间的导数）与（中间点函数值）函数x在区域内
        • 二阶导＞0,凹函数
        • 二阶导＜0，凸函数
      • 拐点：凹凸性变化的点
        • 二阶导＝0，三阶导≠0
    • 渐近线
      • 水平渐近线（趋于无穷的极限）
      • 铅直渐近线（某点函数值趋于无穷）
      • 斜渐近线y=ax+b
        • 斜率a（无穷远Fx/x,比值的极限)
        • b(无穷远Fx-ax，差的极限)
    • 弧微分、曲率、曲率半径
  • 不等式证明
    • 中值定理
    • 单调性
    • 凹凸性
    • 最值
  • 中值定理证明题
    • 含有导数的证明（罗尔定理使证明的式子变成导数为0）
      • n阶导数＝0
        • 一直用罗尔嵌套
      • 相差一阶
        • 主要构建从而求出原函数，用罗尔
      • 至少有3项，分组构造
        • 主要构建，整体导数＝此时Fx为构建函数
    • 关于a，b，拉格朗日和柯西中值定理以及还原后用中值定理
      • 
        • a，b的式子＝函数的式子（构造左面的方程式）
          • 分子为函数值相减（柯西）
          • 证明方向a，b→
      • ab不可分开
    • 式子中含俩个或俩个以上的中值
      • 
        • η、ξ来源为不同的俩个邻域的中值定理
          • 俩个分别用中值定理
      • 
        • η、ξ来源为俩个不同邻域的中值定理
          • 俩个分别用中值定理
      • 
        • η、ξ来源为相同邻域，分层次的中值定理：最外层构造函数φx 和φx求导内部分离出的Fx
          • 分别把&和n放到方程的俩边，将一边复杂方程构造成某个函数的导数φx（利用中值定理），然后内部再分离，再构造一个函数，然后用中值定理
• 第六章 多元函数微分学
  • 求极限
  • 求偏导
    • ∫（u，v）
      • ∫(xy，x+y）
      • ∫₁＇·u＇＋∫₂＇·v＇
    • 判断约束和自变量
  • 多元函数微分的应用
    • 无条件极值（圆内）如果题中没指明定义域
      • 求z=∫(x,y)定义域(开区间)
      • 求驻点
        • x偏导和y偏导＝0
      • 利用判别法判断驻点是否为极值点
        • 驻点处：A=x二阶偏导值、B=偏x偏y值、C=y二阶偏导值
        • AC-B²＞0，极值点
          • A＞0，极小值
          • A＜0，极大值
        • AC-B²＜0，非极值点
    • 条件极值（边际线上）φ(x，y)＝0
      • 拉格朗日乘数法
        • 
          • 分别对x，y，λ求偏导并＝0
          • 
      • 子主题
      • 子主题
    • G(x,y)=常数，相当于在xy轴图像上建立一个面“墙”
• 第四章 不定积分
  • 不定积分方法
    • • 凑平方，外加加减变换
    • 子主题
  • 换元积分
  • 分步积分法
  • 方法
• 第五章 定积分
  • 定义
    • 可积性
      • 区间上连续
      • 区间上有界且只有有限个间断点
  • 基本性质
    • 积分中值定理
      • 释放定积分
    • 保号性
    • 估值性
      • 证明题中，用于积不出来的时候，估计定积分
    • 常用公式
      • 区间再现
      • （连续奇函数的原函数都是偶函数）周期性
  • 积分上限函数及其导数
  • 换元法（换元必换限）
    • 换
      • 三角（平方）
      • 根号整体换元（去根号）
      • 倒代换（去分母高次）
      • 幂指函数代换
    • 凑
      • 凑平方项
      • 凑微分
    • 拆
      • 因式分解
  • 广义积分
    • 配函数连续、积分区间无限的广义积分，因为无限所以没法求
      • 
      • 
      • 
        • 分俩个邻域，同时收敛
      • k＞1，收敛
      • k≤1，发散
    • 配积分区间有限的无界函数的广义积分，因为没定义所以没法求
      • 
      • 
      • 
        • 分俩个邻域，同时收敛
      • k＜1，收敛
      • k≥1，发散
  • 求极限
  • 伽马函数
    • • 根据e的幂函数的情况，在确定前面项的次数
      • x的a次方→Γ（a+1）＝a阶乘
      • x的a+½次方→Γ(a+1+½)＝(a+½)******(0+½)
• 第七章 微分方程
  • 常微分方程一个常数一个自变量
  • 含导数或微分的方程
  • 最终求y=F（x） 使得微分方程成立的(函数)称为微分方程的解
    • 假设F(x)整个带入微分方程方程使得方程成立，F(x)为解
    • 目的是除去导数或微分
    • 微分方程的特解：函数解是一个确定的函数
    • 微分方程的通解：含任意常数c的函数解
  • F（x，y）一阶微分方程
    • 可分离变量的微分方程
      • 只要能写成F(x,y)=Φ₁(x)·Φ₂(y)
      • 方法：①分离变量②两边积分(等式分一边只有x，另一边只有y)
      • 注意y＝0
    • 齐次微分方程
      • 只要能写成F(x,y)=Φ(y/x),yx为整体变量
      • 因为xy不能分离，所以构造整体u和Φ，使其可分离
      • 方法：①F(x,y)变形为Φ(y/x)
      • ②令y/x=u，把dy/dx变换为u+x·du/dx，y/x换为u
      • ③分离变量④俩边积分
    • 一阶齐次线性微分方程
      • 
      • 方法：
    • 一阶非齐次线性微分方程
      •  
      • 方法：
      • 与互为倒数，求出一个直接得第二个
    • 伯努利方程
    • 全微分方程
  • 高阶微分方程
    • 可降阶的高阶微分方程
      • 
        • 一直对方程积分
      • 
        • 
          • 构造成dy/y=dx/x
      • 
        • 
          • 构造成dp/p=dy/y
    • 高阶常系数线性微分方程
      • 齐次
        • 判别式Δp²-4q
          • Δ＞0
            • 
              • 
          • Δ＝0
            • 
              • 
          • Δ＜0
            • 
              • 
      • 非齐次
        • 将解出通解，以及（λ₁λ₂特征值）
        • 根据中e的次方数选择情形中的Yo
        • 由Yo求得y′以及y″
        • 将y′和y″代入到原式
        • 求得Yo中的a，b或者α，β
        • 最终通解为y=①中的通解+②中代入a，b值的Yo
• 俩边都有ln可以将内部函数提出
• 因为其他项正常，所以只乘有问题的项（使其消失）
  • 
• x的可次方是由极限为常数，配出来的
  • 例如
• ∫₁＇完全可以看成∫₁＇(u，v）
• 可微
• 可偏导
• 连续
• b³-a³=（b-a）（a+b）²
• 因为只有指数的导入才能使复合函数与其导数同时出现且分离，当构建函数的导数＝0，分子＝0，整体指数的导数＝0
• 可导
• 可微
• 连续
• 导数存在☞连续☞左=右=函数值
• 含参数的极限问题