线性代数

考研的人再不看就来不及啦！线性代数是逻辑性很强的一门学科，下图对前三章重点及部分公式等方面进行知识点的归纳与总结，十分详细全面，快收藏加关注不迷路哦！

线性代数

• 第一章
  • 第一节
    • 一. 预备知识
      • 求和符号，连乘符号
        • 子主题
      • 1. 唯一解(只交于一点) 2.无解(平行且不重合) 3. 无穷多组解(重合)
    • 二. 二阶行列式
      • 高斯消元
      • 二阶行列式的直观理解
        • 
    • 三. 三阶行列式
      • 三阶行列式的直观理解
    • 四. n级排列 逆序 对换
      • 定义 由1，2，… , n组成的一个有序数组称为一个n 级排列
      • 定义 在一个排列中，如果一个大的数在小的数前，则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为此排列的逆序数（记为 τ）。逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列
      • 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，就是做一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
      • 定理　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性
  • 第二节
    • 一. n 阶行列式的定义
      • 定义1 由n2 个数组成的n阶行列式等于所有来自不同行不同列 的n个元素的代数和
• 第二章矩阵
  • 第一节
    • (1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵，可记作An .
    • 三.矩阵的运算
    • 四.对称矩阵与反对称矩阵
    • 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 AT =A , 即aij=aji,称 A 为对称矩阵.
    • 定义：如果n阶方阵A满足 AT= - A，即aij= -aji,则称A为反对称矩阵
    • 矩阵的加法与数乘运算称为矩阵的线性运算。
      • 加法
        • 
          • 
      • 乘法(数乘)
        • 
          • • 
    • 矩阵乘法的定义
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        • 
      • 
    • 方阵的幂
      • 定义 设A是n阶方阵，
        • 注意 
    • 矩阵的转置
      • 把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。
        • 运算律
          • 
    • (2)
    • 
    • 子主题
    • 
    • （6）零矩阵记为0m×n
    • 二，同型矩阵与矩阵相等的概念
      • 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
      • 2.矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n同型,且对应元素相等,则 称矩阵A,B相等,记作A=B。
  • 第二节
    • 一. 分块矩阵及其运算
      • 分块矩阵的运算规则(乘法，转置)
        • 分块矩阵A，B的乘法运算规则： 1. A列的分法与B行的分法一致。 2. A的列数=B的行数。 3. 把子块看做矩阵的元素。
      • (2) 分块转置
        • 
    • 二.方阵的行列式
      • 定义 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或det(A) 。
        • 设A,B为n阶方阵,λ为实数,则有下列等式成立: 
    • 三. 可逆矩阵
      • 定义 对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B，使得BA=AB=E 则称A是可逆矩阵（非奇异阵）,并称矩阵B为A的逆矩阵. 记作A-1=B.
    • 四. 逆矩阵的唯一性与存在性
      • 唯一性 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
      • 充分性 若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
  • 第三节
    • 一. 初等变换与行阶梯形矩阵
      • 初等变换
        • 由高斯消元引入矩阵的初等变换： (1)交换两行(对换变换ri↔rj)； (2)用非零数乘以某一行(倍乘变换ri×k, k≠0) ； (3)把某一行的倍数加到另一行(倍加变换ri+rj×k)．
        • 若矩阵 A 经过有限次(行)初等变换变成 B，则称 A与B(行) 等价，记作 A ～ B . (等价关系具有反身性,对称性,传递性。)
      • 行阶梯形矩阵
        • 定义 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，若它有以下两个特点: 1.非零行的主元前面的0的个数逐行递增。 2.如果有零行，零行在最下面一行。
    • 二. 矩阵的秩(r)
      • 定义 在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式
      • 定义 矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩， 记作 rank(A) 或者r(A)。
      • 定理 初等变换不会改变矩阵的秩，即若A ~ B, 则 r(A) = r(B) .
      • 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。 任一矩阵都可经过行变换化为行阶梯型。所以用初等变换可以求矩阵的秩。
    • 三.矩阵的秩的性质
      • r(A) =r(AT) 。
      • A为n阶可逆矩阵则r(A)=n。(可逆阵也叫满秩矩阵)
    • 四.初等矩阵与初等变换
      • 初等矩阵
        • 定义 对单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵。
          • 注意 初等矩阵是可逆的，逆阵是与其同一类型的初等矩阵
  • 第四节
    • 一.用初等变换求逆矩阵
      • 命题 若An是可逆矩阵，则对任意n维列向量, 线性方程组
    • 二.线性方程组解的判定
      • (1)无解的充要条件是
      • (2)有唯一解的充要条件是
      • (3)有无穷多个解的充要条件是
      • 定理 设ppppp 2)有唯一解的充要条件是p(未知量的个数有无穷多个解的充要条件是p
      • 推论 设
    • 三.矩阵的等价标准形
      • 设矩阵A的秩为r，A等价于如下矩阵：
• 第三章
  • 第三节
    • 一.向量空间的基，维数，坐标
      • 定义 设V是向量空间，如果V 中的向量组p
      • 说明V=p 是向量空间V的一组基，则p
      • 定义 向量空间V 的基中含有向量的个数称V的维数，记为dimV
      • 若向量空间的维数等于r，则它的每一组基一定含有r个向量。
      •  这组基称为标准(正交)基。
      • 坐标
        • 
    • 二. 基变换与坐标变换
      • 则即 p 其中矩阵p称为由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵
      • 
  • 第四节
    • 一.齐次线性方程组解的性质
      • 性质1：
      • 
      • 定义 齐次线性方程组的全体解向量构成的集合称为解空间．
    • 二.基础解系及其求法
      • 定义：p pp  p
      • 定理 设A是m*n矩阵，如果r(A ) =r<n, 则齐次线性方程组Ax=0的基础解系存在，且每个基础解系含有个n-r个解向量。
      • 求基础解系的步骤： 1. 把系数矩阵用行变换化为行阶梯型。 2. 观察系数矩阵的秩，如果秩r小于未知量的个数n，建议 把行阶梯型化为行最简型，并把对应的方程组写出来。再 取n-r个自由变量(一般把非主元列对应的变量作为自由变量)。 3. 给自由未知量赋于n-r组值：  4. 回代到化简后的方程组，得到n-r个解，即为一个基础解系。
    • 三.非齐次线性方程组 Ax = b 解的性质与结构
      • 定义 将非齐次线性方程组的常数项都换成0，则得到相应的 齐次线性方程组，称为非齐次方程组的导出组。
      • 性质一
      • 解的结构定理 ： 
      • 性质2 
• 
  • 特别的对于分块对角矩阵有： 
• • 项数)3阶行列式是3!项的代数和．
  • (项的构成)每一项都是取自不同行不同列的3个元素之积.
  • (符号规律)前面的正负号取决于乘积项的列标排列的奇偶性．
• 称aij为行列式的第i行第j列的元素。