高等数学第十一章知识点大全

高等数学第十一章公式及知识点大全

高数公式

• 第十一章
  • 第一讲 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 两类曲线积分的关系
    • 一 对弧长的曲线积分
      • 存在条件
      • （α＜β）
    • 对坐标的曲线积分
      • 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
    • 两类曲线积分的联系
      • 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是
  • 第二节 格林公式
    • 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域
    • 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有∬D（(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy）=∮L（Pdx+Qdy） (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式.
      • 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
    • 应用： 
    • 平面曲线积分与路径无关的条件
      • 两条件缺一不可
    • 二元函数的全微分求积
  • 第四讲对面积的曲面积分
    • 第一类曲面积分
      • 
      • 计算公式
        • 
        • 2. 若曲面∑ ：y=y(x,z) 则
        • 
      • 对面积的曲面积分的应用
        • 面积
        • 质量
        • 重心
          • 
        • 转动惯量
          • ，
  • 第五讲对坐标的曲面积分
    • 曲面法向量的指向决定曲面的侧.
      • 曲面的投影问题:在有限曲面∑上取一小块曲面Δs，Δs在xoy面上的投影（Δs）xy
    • 二、概念的引入
    • 三，概念及性质
      • 
        • 存在条件:当Q（x，y，z）。P（x，y，z）。R（x，y，z）在有向光滑曲面∑上连续时对坐标的曲面积分存在
        • 组合形式:
        • 性质:
    • 四，计算法
      • 
    • 五、两类曲面积分之间的联系
      • 
  • 第六、七节高斯公式与斯托克斯公式
    • 一，高斯公式
      • 子主题
      • （注意满足三个条件），cosα，cosγ，cosβ是∑上点（x,y,z,）处的法向量的方向余弦
      • Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
      • 使用Guass公式时应注意: ①P,Q,R是对什么变量求变偏导 ②是否满足高斯公式的条件 ③∑取闭区域的外侧
    • 二、斯托克斯公式
      • 定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, ∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,∑的正向与Γ的侧符合右手规则, 函数P(x,y,z),Q(x,y,z) ,R(x,y,z) 在包含曲面Γ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式:
      • 便于记忆形式: 
      • Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
      • 当Σ是xoy面的平面闭区域时：斯托克斯公式→格林公式