导图社区 高数解题方法总结
高数解题秘籍分享！根据汤家凤的辅导讲义总结的解题思路，当你做题遇到瓶颈时可以拿出来看看，希望对大家有帮助。
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第14章DNA的生物合成读书笔记
高数
第一章 极限与连续
极限
定义
极限存在的必要条件是左极限和右极限存在且相等。
无穷小（都趋近与0）也就是分子分母此时都为0
含参数的极限问题
0高阶无穷小
k同阶无穷小
1等阶无穷小

性质
唯一性
保号性(判断是否极值点)
当去心领域极限为正。极限>零。通过变换极限。得到Fx
有界性
数列极限有界性
函数极限局部有界性，函数有极限就有界，反之不可
若列极限存在，则任意子列存在相同的极限。反之不存不一定存在
复合运算中，极限为最外层函数的极限
函数a想要有极限，函数a包含另一个函数b，则b必须得有界限
极限存在准则
单调有界的数列必有极限
n项和或积的极限计算
定积分：分子分母次数都齐（内部齐），可以提出n分之一
夹逼定理
连续与间断
连续
充分必要条件--左=右=函数值。

间断点的分类（前提为不连续）
第一类间断点：a处左极限右极限都存在
可去间断点--左＝右≠函数值
跳跃间断点--左≠右
第二类间断点：左右极限至少一个不存在
连续函数的性质(命题为：都关于【a，b】内连续)
单Fa，变换建立新函数
最值定理
零点定理：(a,b)
介值定理：【a，b】函数值相加条件。
双Fa+Fb
有界定理
第二章 导数与微分
导数（前提Fx连续）
导数存在☞连续☞左=右=函数值
存在的条件：左导数极限等于右导数极限
Fx可导即Fx处处有导数；Fx连续可导即f＇x为连续函数。
微分
可微代表可以用以直代曲
可导
可微
题型
高阶求导
第三章 一元函数微分学应用
中值定理
拉格朗日
闭连续、开可导
罗尔定理
闭连续、开可导、端点相等
柯西中值定理
俩函数闭连续、开可导、分母不为零
洛必达
泰勒中值定理（提高描述的精度）
麦克劳林公式
浮动主题
单调性、极值、凹凸性与拐点函数作图。
极值判断
利用极限的保号性
函数在x0处二阶可导，且导数为零
二阶导＞0,极小点
二阶导＜0，极大点
泰勒公式
条件（在领域内n+1次课导）
麦克劳林求极限
凹凸性与拐点
凹凸性：（俩点间的导数）与（中间点函数值）函数x在区域内
二阶导＞0,凹函数
二阶导＜0，凸函数
拐点：凹凸性变化的点
二阶导＝0，三阶导≠0
渐近线
水平渐近线（趋于无穷的极限）
铅直渐近线（某点函数值趋于无穷）
斜渐近线y=ax+b
斜率a（无穷远Fx/x,比值的极限)
b(无穷远Fx-ax，差的极限)
弧微分、曲率、曲率半径
不等式证明
单调性
凹凸性
最值
中值定理证明题
含有导数的证明（罗尔定理使证明的式子变成导数为0）
n阶导数＝0
一直用罗尔嵌套
相差一阶
主要构建从而求出原函数，用罗尔
因为只有指数的导入才能使复合函数与其导数同时出现且分离，当构建函数的导数＝0，分子＝0，整体指数的导数＝0
至少有3项，分组构造
主要构建，整体导数＝此时Fx为构建函数
关于a，b，拉格朗日和柯西中值定理以及还原后用中值定理
a，b的式子＝函数的式子（构造左面的方程式）
分子为函数值相减（柯西）
证明方向a，b→
ab不可分开
式子中含俩个或俩个以上的中值
η、ξ来源为不同的俩个邻域的中值定理
俩个分别用中值定理
η、ξ来源为俩个不同邻域的中值定理
η、ξ来源为相同邻域，分层次的中值定理：最外层构造函数φx 和φx求导内部分离出的Fx
分别把&和n放到方程的俩边，将一边复杂方程构造成某个函数的导数φx（利用中值定理），然后内部再分离，再构造一个函数，然后用中值定理
第六章 多元函数微分学
求极限
求偏导
∫（u，v）
∫(xy，x+y）
∫₁＇·u＇＋∫₂＇·v＇
∫₁＇完全可以看成∫₁＇(u，v）
判断约束和自变量
多元函数微分的应用
无条件极值（圆内）如果题中没指明定义域
求z=∫(x,y)定义域(开区间)
求驻点
x偏导和y偏导＝0
利用判别法判断驻点是否为极值点
驻点处：A=x二阶偏导值、B=偏x偏y值、C=y二阶偏导值
AC-B²＞0，极值点
A＞0，极小值
A＜0，极大值
AC-B²＜0，非极值点
条件极值（边际线上）φ(x，y)＝0
拉格朗日乘数法
分别对x，y，λ求偏导并＝0
子主题
G(x,y)=常数，相当于在xy轴图像上建立一个面“墙”
第四章 不定积分
不定积分方法
凑平方，外加加减变换
换元积分
分步积分法
方法
第五章 定积分
可积性
区间上连续
区间上有界且只有有限个间断点
基本性质
积分中值定理
释放定积分
保号性
估值性
证明题中，用于积不出来的时候，估计定积分
常用公式
区间再现
（连续奇函数的原函数都是偶函数）周期性
积分上限函数及其导数
换元法（换元必换限）
换
三角（平方）
根号整体换元（去根号）
倒代换（去分母高次）
幂指函数代换
凑
凑平方项
凑微分
拆
因式分解
广义积分
配函数连续、积分区间无限的广义积分，因为无限所以没法求
x的可次方是由极限为常数，配出来的
例如
分俩个邻域，同时收敛
k＞1，收敛
k≤1，发散
配积分区间有限的无界函数的广义积分，因为没定义所以没法求
因为其他项正常，所以只乘有问题的项（使其消失）
k＜1，收敛
k≥1，发散
伽马函数
根据e的幂函数的情况，在确定前面项的次数
x的a次方→Γ（a+1）＝a阶乘
x的a+½次方→Γ(a+1+½)＝(a+½)******(0+½)
第七章 微分方程
常微分方程一个常数一个自变量
含导数或微分的方程
最终求y=F（x） 使得微分方程成立的(函数)称为微分方程的解
假设F(x)整个带入微分方程方程使得方程成立，F(x)为解
目的是除去导数或微分
微分方程的特解：函数解是一个确定的函数
微分方程的通解：含任意常数c的函数解
F（x，y）一阶微分方程
可分离变量的微分方程
俩边都有ln可以将内部函数提出
只要能写成F(x,y)=Φ₁(x)·Φ₂(y)
方法：①分离变量②两边积分(等式分一边只有x，另一边只有y)
注意y＝0
齐次微分方程
只要能写成F(x,y)=Φ(y/x),yx为整体变量
因为xy不能分离，所以构造整体u和Φ，使其可分离
方法：①F(x,y)变形为Φ(y/x)
②令y/x=u，把dy/dx变换为u+x·du/dx，y/x换为u
③分离变量④俩边积分
一阶齐次线性微分方程
方法：
一阶非齐次线性微分方程
 
与互为倒数，求出一个直接得第二个
伯努利方程
全微分方程
高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
一直对方程积分
构造成dy/y=dx/x
构造成dp/p=dy/y
高阶常系数线性微分方程
齐次
判别式Δp²-4q
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
非齐次
将解出通解，以及（λ₁λ₂特征值）
根据中e的次方数选择情形中的Yo
由Yo求得y′以及y″
将y′和y″代入到原式
求得Yo中的a，b或者α，β
最终通解为y=①中的通解+②中代入a，b值的Yo
第八章 重积分
重积分对称性质
①查看被积区域是否为对称区域，如果为对称区间大概率可以去除函数的一部分
②如果被积区域与再考察F（x，y）的奇偶性
积分方法
（坐标轴区域*函数区域）直角坐标法
改变积分次序
极坐标法
被积函数包含x²+y²
积分区域边界线包含x²+y²
积分范围r的确定
三重积分
第一步先确定xoy平面上的积分区域，和z的积分区域
直角坐标法
切片法
第九章 级数
常数项级数
概念
目的：和到底存在不存在
部分和的极限存不存在
如果极限存在（收敛）
这个东西就代表级数：
收敛级数和有极限，级数收敛→和是固定值
级数收敛则，无穷远的一般项趋于0
该性质用于求极限
收敛级数的线性运算
收敛+收敛=收敛
发散+发散=发散
级数（增加、减少、改变有限项时）不改变级数的收敛性
但改变级数的和
添加括号提高级数的收敛性
（单向）发散→收敛
俩个重要级数
p级数
p＞1收敛，p≤1发散
几何级数
∣p∣≤1收敛，∣p∣＞1发散
正项级数
收敛必要条件：无穷小趋于0
所有项≥0，求和为正项级数
Sn单调增加
收敛必要条件部分和有界
正项级数及其连散性判断
正项级数审敛法
比较
判断一个正项级数是否收敛，就看通项趋于零速度的快与慢
同价无穷小
高阶无穷小，我比你小的更快
我比你更发散
比值
用于阶乘
根值
用于n次幂
积分
用于对数
交错级数
括号增加收敛性平方具有双向性
交错级数的敛散性判别
莱布尼兹审敛法
单调递减
无穷小趋于0，收敛
级数的条件收敛和绝对收敛
绝对值是降低收敛性的
幂级数
幂函数带入具体值时变为常数项级数
所用代进去可以使收敛的值，组合在一起为收敛域
研究幂级数时首先研究收敛域
幂级数收敛的特点
阿贝尔定理
收敛半径
记得考擦端点
R为收敛半径，幂级数在（-R,R）内绝对收敛
使条件收敛的只可能在端点
收敛域
幂级数的分析性质
和函数
逐项可导性
求导和求和的次序可以互变
求得的函数绝对收敛域相同
求积和求和的次序可以互变
函数展成幂级数
直接法
间接法
提出去的x，一定要在导数内再写一次
逐项可积性
幂级数求和函数
求出原导数
构造4、5
求出原积分函数
先利用4、5求和
直接利用6、7
第十章 空间解析几何
空间简析几何的理论
几何描述
向量加法
向量减法
数与向量之积
向量的数量积
向量的向量积
代数描述
级数是不是收敛
就看前n项和的极限是否存在
即研究当n取无穷时，LimSn这个极限是不是存在的
极限的存在准则有两个：一是单调有界数列必收敛；二是夹逼定理
Sn看成一个新的数列，各项为正，故单调递增，这就是正项级数的特点
那么如果有上界，就可以判断出这个正项级数是收敛的。
可偏导
b³-a³=（b-a）（a+b）²
