高等数学重积分的大纲

"高等数学重积分重要知识点梳理 思维导图 高等数学知识点：重积分，如何应用，有二重积分、三重积分如何进行计算，对称性特点是怎样的。快来一起学习吧~"

重积分(将重积分化为n次积分)

• 三重积分
  • 计算
    • 截面法
      • 被积函数仅用一个变量表示，例如x,z,y
      • 截出的面积好表示，可以直接积分
    • 球坐标(r,φ,θ)
      • r²sinφdrdφdθ
    • 柱坐标(r,θ，z)
      • rdrdθdz
    • 穿针法(投影法)
    • 性质
  • 对称性
    • 常考点:1计算中可以简化(尤其在被积函数复杂时)2.同一个被积函数在不同Ω的数值关系，通常有比例关系
    • 有时候对称性，不是明显Ω所具有的，需要分割
    • 1.如果积分区域关于xoy(z=0)平面对称，则被积函数满足f（-z）=-f（z），则积分为0 被积函数如果是f（-z）=f（z），则积分为2倍积分正z区间
• 二重积分
  • 对称性
    • 积分区域关于x=0对称， 则 被积函数是x的奇函数 →积分值为零 被积分函数是x的偶函数→积分值为正区域(x>=0)积分值两倍
  • 计算(凡事先画图)
    • 直角坐标法:后积先定限 限内画条线 先交为下限，后交为上限
      • 先x后y
      • 先y后x
    • 极坐标法
      • f(x,y)中含有x²+y²,x/y,y/x
      • 积分区域为圆,环，扇域
    • 性质
  • 几何意义
    • 曲顶柱体
  • 物理意义
    • f(x)是面密度，求质量
• 应用
  • 曲面的面积
    • 1.z=f(x,y) 2.曲面S在xoy面上的投影区域是D 3.z对x,y求偏导数存在且连续 4.要计算面积S
    • 公式:S=∫∫D(1+δzδx的的平方+δzδy的平方)½dxdy
  • 注意:得到的可能是反常二重积分(在积分区域内函数值在某点可趋近无穷)，此时参考反常积分(定积分那章，取极限)