线性代数 第三章思维导图

线性代数第六版第三章矩阵的初等变换与线性方程组的思维导图

矩阵的初等变换与线性方程组

• 矩阵的初等变换
  • 定义
    • （同理可定义初等列变换r→c）
    • 等价
      • 定义
        • 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就成矩阵A与B等价，记作A~B比如两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价
      • 性质
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  • 行阶梯矩阵
    • 定义
    • 特点
      • （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零
      • （2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元
  • 行最简形矩阵
    • 定理
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  • 初等矩阵
    • 定义
      • 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵
    • 三种初等变换
      • 1.对调两行/列
      • 2.以数k≠0乘以某行/列
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      • 3.以数k乘某行/列再加到某行/列上
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    • 性质
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    • 定理
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    • 推论
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• 矩阵的秩
  • 定义
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  • 定理
    • 若A~B,则R(A)=R(B) 注：经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
  • 推论
    • 若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B, 则R(A)=R(B).
  • 性质
  • 行/列满秩矩阵
    • 定义
      • 矩阵的秩等于它的行/列数的矩阵称为行/列满秩矩阵（当矩阵为方阵时称为满秩矩阵）
    • 矩阵乘法的消去律
      • 设AB=O,若A为列满秩矩阵，R(B)=0，则B=O（详见课本P71）
  • 子主题
  • 子主题
  • 子主题
  • 子主题
• 线性方程组的解
  • 消元法解线性方程组
  • 线性方程组有解的判定条件
  • 定理
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• 同解变换：