导图社区 第一章 实数、绝对值、比和比例
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第一章 实数、绝对值、比和比例
实数
整数与自然数
整数Z：…，-2，-1，0，1，2…
自然数N：0，1，2，…
整数Z
正整数Z+
0
自然数N（最小的自然数为0）
负整数Z-
质数与合数
质数（素数）：＞1的整数，只能被1和它本身整除（只有1和它本身两个约数）
合数：正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他整数整除
除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数
重要结论
质数和合数都在正整数范围，且有无数多个
2是唯一的即是质数又是偶数的正整数，即是唯一的偶质数
大于2的质数必为奇数。质数中只有一个偶数2，最小的质数为2.
1既不是质数也不是合数
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2
奇数+/-偶数=奇数
奇数X偶数=偶数
最小的合数为4
任何合数都可以分解为几个质数的积； 能写成几个质数的积的正整数就是合数。
精选例题
记不超过15的质数的算数平均数为M，则与M最接近的整数是（ ） （A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）6
20以内的质数中，两个质数之和还是质数的共有几种（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6
整除、倍数、约数
数的整除：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而无余数时，则称a能被b整除或b能整除a
倍数、约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数
最小公倍数：
几个数公有的倍数叫做几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数
最小公倍数的表示：数学上常用方括号表示，如[12，18，20]即12、18、和20的最小公倍数
整除的特征：
三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。则最大的数与最小的数相差多少？ （A）18 （B）20 （C）22 （D）24 （E）26
有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身 （A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）6
最小公倍数的求法
最小公倍数的求法：求几个自然数的最小公倍数，有两种方法
分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数
公式法：
两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积
例如：求[18,20]，即得[18,20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180
求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。 即：多次使用公式
两个正整数甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是m，则m的各个数位之和为多少？ （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6
甲、乙、丙三人沿着200米的环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分30秒，乙跑完一圈要1分20秒，丙跑完一圈要1分12秒，三人同时、同向、同地起跑，当三人第一次在出发点相遇时，甲、已、丙三人各跑的圈数之和为多少？ （A）27 （B）30 （C）36 （D）39 （E）42
只要步调不同人再次相遇时用公倍数，公倍数是要让有快又慢的人在同一地点、同一时刻出现。 还有空间问题，比如植树，原来隔几米植树，现在又隔几米植树，公倍数正好是它重合的点
奇数和偶数
偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。如-2，0，2，4，6……
0属于偶数
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。如-1，1，3，5……
奇数：2n+/-1
偶数：2n
奇数偶数的运算性质
奇数+/-奇数=偶数，奇数+/-偶数=奇数，偶数+/-偶数=偶数
奇数×奇数=偶数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数
某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29，则右手中石子数为（ ）。 （A）奇数 （B）偶数 （C）质数 （D）合数 （E）无法确定
一班同学围城一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数（ ） （A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数 （C）一定不是4的倍数 （D）一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）可能为奇数
平均值
算数平均值：
几何平均值：
【注意】几何平均值是对于正数而言。
基本定理：算数平均值≥几何平均值，当且仅当x1=x2=x…=xn时，等号成立
三个实数1，X-2和X的几何平均值等于4，5和-3的算数平均值，则X的值为（ ） （A）-2 （B）4 （C）2 （D）-2或4 （E）2或4
比和比例
比：两个数相除，又称为两个数的比
比例：相等的比称为比例，记作a:b=c:d，其中a和d称为比例外项，b和c称为比例内项
正比：若y=kx（k不为零），则称y与x成正比，k称为比例系数。
【注意】并不是x和y同时增大或减小才称为正比。比如当<0时，x增大时，y反而减小
反比：若y=k/x（k不为零），则称y与x成反比，k称为比例系数
绝对值
定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它相反数；零的绝对值还是零
【特征】绝对值只对负数起作用（变号），对正数和零无影响
数学描述：
绝对值的性质
非负性：即丨a丨≥0，任何实数a的绝对值非负
只是扩展，推而广之，具有非负性的数还有：偶数次方（根式）
考点规则：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数应该为零； 有限个非负数之和仍为非负数。
使用对数公式：
此题考察非负性的数之和等于零的规则
扩展考点：负二分之一次方
绝对值公式：
