线性代数总结

第一学期 线性代数 总结 3、4、5、6章

线性代数

• 第四章 n维向量空间
  • 4. 1 n维向量空间的概念
    • n维向量空间的概念
      • 向量线性运算包括加法和数乘
        • 向量有与矩阵相同的线性运算
    • Rn 的子空间
    • 小结
  • 4. 2 向量组的线性相关性
    • 向量组的线性组合
      • 定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
      • 成为向量组的一个线性组合
      • • 任意n维向量可由单位向量组表示
      • 等价定义：向量组A能由向量组B线性表示，向量组B也能由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。
        • 向量组等价具有三性:自反性,对称性,传递性
    • 向量组的线性相关性
      • • 向量个数 >向量维数 的向量组必线性相关
      • 基本定理
    • 小结
  • 4. 3 向量组的秩与最大无关组
    • 向量组的秩与最大无关组的概念
      • • 1.向量组的每个向量都能由最大无关组线性表示。
        • 2.向量组与其最大无关组都等价。
      • 向量组线性相关等价于向量组的秩<向量组所含向量个数.
      • 只有0向量的向量组没有最大无关组，秩 = 0
      • 定理：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩
        • • • ？？
    • Rn 的基、维数与坐标
    • 小结
  • 4. 4 线性方程组解的结构
    • 齐次线性方程组
    • 非齐次线性方程组
      • 定义 称AX = 0为AX = b 的导出组
    • 小结
• 第五章 特征值与特征向量
  • 5.1 基本 概念与计算
    • 定义：设A为n阶方阵若数λ和n维非零向量α使Aα=λα，则λ为A的一个特征值，α为 A对应于λ的一个特征向量
    • 性质：①设Aα=λα，则A（kα）=k（Aα）=k（λα）=λ（kα） kα是A相对于λ的特征向量 ②Aα=λα，A（α₁+α₂）=λ（α₁+α₂） （α₁+α₂）是A相对于λ的特征向量 ③同理，k₁α₁+k₂α₂+...+kₙαₙ是A相对于λ的特征向量
      • 特征子空间∪{0}封闭
    • 求解步骤： ①|λI-A|=0→ λ ②(λI-A)X=0→基础解系 ③α=（k₁α₁，k₂α₂，...，kₙαₙ）
  • 5.2 矩阵的相似对角化
    • 相似矩阵的基本概念
      • 定义：若AB都为n阶方阵，存在可逆矩阵P使 则称A与B相似，记作A∽B
        • 矩阵相似是一种等价关系
          • 反身性
          • 对称性
          • 传递性
    • 相似矩阵的性质
      • 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的迹（对角元素的和）、 相同的行列式、相同的秩.
    • 矩阵的相似对角化
      • 定义：若 A 可对角化，即 A 相似于对角阵 , 则 称  为 A 的相似标准形
    • 可相似对角化矩阵的应用
      • 1. 由特征值、特征向量反求矩阵
      • 2.求方阵的幂
      • 3.求行列式
      • 4. 判断矩阵是否与对角阵相似
    • 总结
  • 5.3 n维向量空间的正交化
    • 内积
      • 内积的向量空间称为欧氏空间
    • 标准正交基
      • • 正交向量组的每个向量均要求非零.
    • 施密特正交化方法
    • 正交矩阵
    • 小结
• 第六章 二次型与二次曲面
  • 实二次型及其标准形
    • 二次型及其矩阵
      • 定义
    • 合同变换
      • 线性变换
        • 概念
        • 性质
      • 概念
    • 用配方法化二次型为标准形
    • 用正交变换化二次型为标准形
      • 定理
  • 正定二次型
    • 定义
    • 定理
  • 曲面与空间曲线
  • 二次曲面
• 第三章 几何空间
  • 空间直角坐标系与向量
    • 空间直角坐标系
    • 向量及其线性运算
    • 小结
  • 向量的乘法
    • 内积
    • 外积
    • 混合积
  • 平面
    • 点法式方程
      • 三点式方程
    • 一般式方程
    • 截距式方程
    • 平面与平面的位置关系
    • 点到平面的距离
  • 空间直线
    • 点向式方程
    • 参数式方程
    • 一般式方程
    • 直线与直线的位置关系
    • 直线与平面的位置关系
    • 平面束的方程
    • 距离
      • 点到直线的距离
      • 异面直线间的距离