考研数学 第一章 函数极限连续

考研数学高数上第一章知识点 后期会继续更

第一章 函数极限连续

• 函数
  • 定义
    • x在D中任取一个值，都存在唯一的y与之对应
  • 性质
    • 单调性
      • 在定义域内，存在任意x1>x2 有f（x1）>f（x2），则函数单增
      • 在定义域内，存在任意x1<x2 有f（x1）<f（x2），则函数单减
    • 周期性
      • 在定义域内，有任意发f（x+T）=f（x），则函数为以T为周期的周期函数
    • 有界性
      • 存在M>0有f（x）在定义域内，|f（x）|<=M恒成立 注：闭区间连续函数必有界
    • 奇偶性 注：定义区间关于原点对称
      • 在定义域内，对任意x有f（-x）=-f（x），则函数为奇函数
      • 在定义域内，对任意x有f（-x）=f（x），则函数为偶函数
  • 函数种类
    • 基本初等函数
      • 指数函数
        • y=e^x
      • 对数函数
        • lnx
      • 三角函数
        • sinx cosx tanx cotx secx cscx
      • 反三角函数
        • arctanx arcsinx arccosx arccotx
      • 幂函数
        • x^a
      • 常函数
        • c
    • 复合函数
      • 注：分段函数的复合运算
    • 反函数
      • y=f（x）图像关于y=x对称之后的函数 注：反函数的定义域为原函数的值域，值域为原函数的定义域 反函数的导数为原函数导数的倒数
    • 初等函数
      • 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数 注：初等函数在定义域内必连续 分段函数不属于初等函数
    • 分段函数
      • 函数在不同的定义区间内表达式不同 注：求分段函数分段点处的连续性和可导性记得分左右极限讨论
      • 常考例子
        • 符号函数 sgnx
        • 取整函数 [x] x<[x]<x+1
    • 抽象函数
      • 例如：幂指函数 方法：抬起来
• 极限
  • 定义
    • 函数定义
      • 若任意a>0，存在b>0，当|x-x0|<b时，有|f（x）-A|<=a,则称f（x）在x趋于x0时的极限为A
    • 数列
      • 若任意a>0，存在N>0,当n>N，有|Xn-A|<=a恒成立，则Xn在n趋于无穷的极限为A
  • 性质
    • 唯一性
      • 极限存在必唯一
    • 高阶无穷小
    • 局部保号性
      • 若函数在x0处的极限大于0，则在x0的某领域中有f（x）>0
      • 推论：若函数f（x）在x0某去心领域中都大于零，则f（x）在x0处的极限大于等于零
    • 有界性
      • 若函数在某一点x0的极限存在为A，则函数在x0的某邻域内的函数值≤A
  • 无穷小及其比较
    • 无穷小
      • 性质
        • 有界函数乘以无穷小仍为去穷小
        • 常数乘以无穷小仍为无穷小
        • 有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小
    • 无穷小的比较
      • 等价无穷小
      • 同阶无穷小
      • k阶无穷小
    • 无穷小和极限的关系
      • 作用：将f（x）从极限中解放出来
  • 求极限的方法
    • 定义法
    • 利用左右极限求极限
      • 注：适用于e的无穷次幂 arctan无穷 分段函数分段点处 左右极限存在且相等即极限存在
    • 四则运算
      • 注：拆分时要每部分极限都同时存在才能拆，且仅适用于有限项
    • 等价无穷小
      • 常见等价无穷小
      • 注：加减不能用等价无穷小替换，乘除可以换
    • 洛必达
      • 适用与0比0 无穷比无穷型 且要求分子分母上的函数在x0去心领域内可导！！！
      • 注：数列不能求导，用洛必达求数列极限时要先将数列转化为函数做
    • 夹逼定理
      • 怎么用
        • 缩小分母
        • 利用常见不等式
          • sinx≤x≤tanx 【-π/2，π/2】 x≤[x]≤x+1 ln（x+1）≤x e^x≥x+1
      • 何时用
        • 数列为多项和形式
        • 数列表达式和一个不等式相关
        • 取整函数求极限一定用夹逼定理
    • 单调有界准则
      • 何时用
        • 数列以递推关系式形式给出，必用
        • 题目让你先证明极限存在然后求极限，必用
        • 数列表达式是n项和形式，可能用
      • 怎么用
        • 证单调：Xn+1-Xn>(<)0 Xn+1/Xn<(>)1 或者数学归纳法
        • 证有界：常用不等式或数学归纳法
    • 两个重要极限
      • 1的无穷次幂型
  • 求极限时的一些固定思维和技巧
    • 看到无理式要想到有理化
    • 当x趋于无穷时 要将1/x代换成t
    • lna+lnb=lnab
    • 看到三角函数想到全部化为sin cos 和差化积、积化和差公式
    • 多个分式想到同通分
    • 数列中n~无穷相当于函数中x~+无穷 常在选择题中出现
• 连续
  • 定义
    • 若函数在x0点处有定义，左右极限存在且相等，等于f（x0）则连续
      • 注：极限是连续的本质，看到连续要想到极限。函数在开区间内连续，则函数在开区间任意一点连续；函数在闭区间内任意一点连续，且断点处极限存在则函数在闭区间内连续
  • 间断点及其分类
    • 定义
      • 一定要是在x0某去心领域中有定义，但是在x0处不连续的点
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
        • 左右极限存在且相等
      • 跳跃间断点
        • 左右极限存在但是不相等
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
        • 只要左右极限有一个趋向于无穷就是无穷间断点
    • 如何寻找间断点
      • 初等函数一定是分母为0的点
      • 分段函数还有可能是分段点
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 有界性
      • 若f（x）在[a,b]上连续，则必存在m<M，使m≤f（x）≤M 闭区间上连续函数一定有界
    • 介值定理
      • 若f（x）在[a,b]上连续，m≤c≤M ，则必存在ζ∈[a,b]有f(ζ）=c
      • 推论1：连续函数任意两个函数值之间都满足介值定理
      • 推论2：若f（x）在[a,b]上连续，a≤X1≤X2≤X3.....≤Xn≤b，则存在ξ∈[a,b]有f（ξ）=f(x1)+f(x2)+f(x3)...+f(xn)/n
    • 零点定理
      • 若f（x）在[a,b]上连续，f(a)*f(b)<0，则存在一点ξ∈（a,b)，有f（ξ）=0
      • 若f（x）在[a,b]上连续，f(a)*f(b)≤0，则存在一点ξ∈[a,b]，有f（ξ）=0
    • 注：所有方程跟的问题都是中值问题
• 浮动主题