考研线性代数关系图谱

归纳整理了考研线性代数中，矩阵、行列式、向量组、方程组、特征值、二次型六大模块中彼此的逻辑关联，有助于快速搭建知识体系

矩阵的秩

R(A)=n

R(A)<n

R(A)=R(A,b)=n

R(A)=R(A,b)<n

R(A)<R(A,b)

R(A)=R(A,B)

R(A)=R(B)

R(A)=R(B)=R(A,B)

二次型

正定

对任意非零向量x,有

n阶方阵A的特征值全正

标准形系数全正

正惯性指数为n

n阶方阵A的各阶顺序主子式全正

n阶方阵A合同于E

存在可逆P使得

主对角线元素全正

四种上标运算皆正定

|A|>0

R(A)=n

负定

对任意非零向量x,有

n阶方阵A的特征值全负

标准形系数全负

负惯性指数为n

奇数阶顺序主子式<0,偶数阶顺序主子式>0

n阶方阵A合同于E

存在可逆P使得

主对角线元素全负

|A|≠0

R(A)=n

特征值

和积定理

特征值之积=行列式

特征值之和=迹

f(A)定理

f(A)的特征值为f(λ)

不同特征值对应的特征向量线性无关

若A对称,则正交

k重特征值最多只有k个线性无关的特征向量(代数重数≥几何重数)

若A对称,则 代数重数=几何重数

行列式

|A|=0

方阵A不可逆

Ax=0有非零解,Ax=b有无穷解或无解

A的列(行)向量组线性相关

0是A的特征值

是半正定矩阵

|A|≠0

矩阵A可逆

矩阵A与E等价

A可以表示为若干初等方阵的乘积

A的特征值不会是0

Ax=0只有零解,Ax=b有唯一解

是正定矩阵

方程组的解

方程组AX=0有唯一零解

方程组Ax=0有非零解

方程组AX=b有唯一解

方程组AX=b有无穷解

方程组AX=b有无解

方程组AX=B有解

Ax=0与Bx=0同解

向量组的相关性

A的列向量组线性无关

A的列向量组线性相关

向量b可由A的列向量组线性表示,且表示法唯一

向量b可由A的列向量组线性表示,且表示法不唯一

向量b不能由A的列向量组线性表示

B的列向量组可由线A的列向量组性表示

A的列向量组与B的列向量组可互相线性表示(等价)