映射与函数

映射是:∀x∈X，在Y中∃唯一y通过对应法则f与之对应，y=f(x)，函数是一种映射，欢迎大家学习。

映射与函数

• 映射
  • 定义:∀x∈X，在Y中∃唯一y通过对应法则f与之对应。y=f(x)
    • ∀任意 ∃存在
  • 三要素： 1.定义域 D=X 2.值域 R⊂Y或R=Y 3.对应法则f
  • 映射又称为算子，不同集合之间映射分为不同情形： X——>Y 集合 集合 1.非空集X——>数集R 泛函分析 2.非空集X——>非空集本身X 变换 3.实数集R——>实数集R 函数
  • 逆映射
    • y=f(x)
      • ①若为单射，∀y∈Rᵧ，存在对应法则g，使得x=g(y)=f⁻¹(y)
      • ②x=f⁻¹(y)=f⁻¹[f(x)]=> f⁻¹[f(x)]=x 或f[f⁻¹(x)]=x
  • 复合映射
    • y=f(u) u=g(x)
  • e≈2.710281028459045
• 函数
  • 函数是一种映射
  • 二要素： 1.定义域 D 2.对应法则f
  • 几个常用函数
    • 常函数 y=C
    • y=|x|
    • sgn(x)= 1. 1 x>0 2. 0 x=0 3. -1 x<0
    • 取整函数 [x]
    • 分段函数 |x|= 1.x x>0 2.-x x≤0
  • 大学阶段主要研究三种函数
    • 初等函数
      • 基本初等函数
        • 对数函数
        • 反三角函数
        • 幂函数
        • 指数函数
        • 三角函数
      • 复合函数
    • 分段函数
    • 积分上限
  • 函数的四个基本性质
    • 有鸡蛋粥
    • 有界 |f(x)|≤M，∀M>0,f(x)>M f(x)<-M
    • 奇偶性 f (-x)=±f (x)
    • 单调性 x₂>x₁,f(x₂)>f(x₁) <
    • 周期性 f (x+T)=f(x),且T>0
  • 反双曲正弦函数
    • y=arshx=ln(x+√x²+1) 1.x→0, ln(x+√x²+1)～x 2.(arshx)'= 1/√x²+1 3.[ln(x+√x²+a²)]'= 1/√x²+a² 4.∫ 1/√x²+a²dx= ln(x+√x²+a²)+C 5.奇函数