2008年数二真题解析

对每到题的知识点进行了分析，帮你从整体上把握考研数学

考研80年数二考题类型分析

• 选择题
  • 1. 函数零点个数问题
    • P71 罗尔定理的导函数零点存在性定理
  • 2. 用面积表示定积分
    • 分部积分
  • 3. 线性常系数齐次方程求通解
    • P194 微分方程的通解与特征方程的根的关系
  • 4. 函数间断点类型的判定
    • 1.先找没有定义的点
    • 2.再判断当x趋近于x0时
      • 左右极限都存在且相等
        • 可去间断点
      • 左右极限都存在但不相等
        • 跳跃间断点
      • 第一类间断点
      • 左右极限至少有一个不存在
        • 无穷间断点
      • 左右极限都不存在，无穷多次震荡
        • 震荡间断点
      • 第二类间断点
  • 5. 数列收敛的单调有界准则
    • 此题难度五颗星，应引起足够重视
  • 6. 含有一般函数的二元二重积分
    • 极坐标二重积分
    • 变限函数求偏导
  • 7. 矩阵
    • n阶矩阵可逆的充分必要条件
      • 1. 存在n阶矩阵B，使AB=E或BA=E
      • 2. |A|=0或秩r(A)=n，或A的行(列)向量线性无关
      • 3. 齐次方程组Ax=0只有零解
      • 4. 任意b，，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解
      • 5. 矩阵A的特征值全部都不为零
    • 矩阵的幂
      • 立方差公式
  • 8. 判定两矩阵的是否合同
    • 方法一：现将矩阵用二次型表示，然后用配方法化为标准型，选出具有相同正惯性指数的两个矩阵（较麻烦）
    • 方法二：比较两矩阵的特征值，理由：正惯性指数可以由特征值的正负来决定
• 填空题
  • 1. 0/0型极限
    • 主要用等价无穷小代换求解
  • 2. 一阶线性微分方程求通解
    • 1.现将方程化为标准型
    • 2.两边乘积分因子求通解
  • 3. 求切线方程
    • 二元函数求偏导
  • 4. 求拐点坐标
    • 拐点的必要条件：二阶可导的点x0处，二阶导数=0
    • 拐点：（x0，f(x0)）
  • 5. 复合函数求偏导
    • P150 例15 三种方法
  • 6. 求特征值
    • 行列式的性质
    • 矩阵A的各特征值乘积等于|A|
• 解答题
  • 1. 0/0求极限
    • I. 变量代换+等价无穷小
    • II. 主要利用泰勒公式
    • III. 利用拉格朗日中值定理
  • 2. 参数方程求二阶偏导
    • 求分离变量初值问题的解
  • 3. 变量代换求定积分
  • 4. 分区域函数求积分
    • 利用积分的可加性
  • 5. 微分方程的应用
    • 求旋转体体积
    • 求旋转体侧面积
    • 变上限积分求导
    • 分离变量法求微分方程
  • 6. 证明题
    • 第一问：证明积分中值定理
    • 第二问：证明存在一点，使f(x)二阶导数大于零
      • 积分中值定理
      • 两次应用拉格朗日定理
      • 拉格朗日必须是在闭区间上才能用，注意取值范围
  • 7. 多元函数求条件极值
    • 构造拉格朗日函数
  • 8. n阶行列式的计算和方程组的求解
    • 第一问：求三角行列式的值
      • 数学归纳法
        • 验证n=1和n=2时，命题都正确
        • 假设n<k时，命题正确
        • 证明n=k时，命题正确
    • 第二问：求x1
      • 克拉默法则
        • 当|A|不等于0时，方程组有唯一解，此时a不等于0，x1=。。。
    • 第三问：求通解
      • 方程有无穷多组解：矩阵的秩=增广矩阵的秩=n-1
        • 基础解析的个数=未知数的个数-秩
        • 将增广矩阵化至行最简型
          • 求基础解系
          • 求特解
  • 9. 矩阵向量组
    • 证明线性无关（最难，得分率最低）
      • 定义法
      • 反证法
    • 利用第一问中证明过得p矩阵可逆的性质解题，想得到就很简单，想不到就几几