武忠祥高等数学讲义第一章：函数、极限、连续

内容摘自武忠祥教授编写的《高等数学辅导讲义》。

第一章、函数、极限、连续p1

• 函数
  • 主要内容
    • 函数两要素：定义域、对应法则
    • 复合函数：外层定义域交内层值域不为空
    • 反函数：y与x一一对应
    • 初等函数
    • 单调性
      • 联系导数
      • 应用
        • 根的个数
        • 不等式
    • 奇偶性
      • 常见奇偶函数
      • 联系导数
      • 应用
    • 周期性
      • 联系导数
    • 有界性
      • 判定
  • 常考题型及方法
    • 题型一：复合函数p3
    • 题型二：函数形态p3
• 极限
  • 主要内容
    • 数列极限
      • 几何意义
      • 与前n项无关
      • 极限存在等价奇数列偶数列存在并相等
    • 函数极限
      • 自变量趋于无穷
      • 自变量趋于有限值
        • 分左右极限三种情况
          • 分段函数分界点（绝对值）
          • e无穷
          • arctan无穷
    • 极限的性质
      • 局部有界性
      • 保号性
        • 保序性
      • 极限值与无穷小之间的关系
    • 极限存在准则
      • 夹逼准则
      • 单调有界准则
        • 单调增上有界数列有极限
        • 单调增下有界数列有极限
    • 无穷小
      • 有限个无穷小和、积仍是无穷小
      • 无穷小×有界＝无穷小
    • 无穷大
      • 常用无穷大
      • 无穷大与无界变量关系
      • 无穷大与无穷小关系
  • 常考题型及方法
    • 题型一：极限的概念、性质及存在准则p6
    • 题型二：求极限p6
      • 常用方法
        • F1：利用有理运算法则求极限
        • F2：利用基本极限求极限
        • F3：等价无穷小代换
        • F4：洛必达法则
        • F5：泰勒公式
        • F6：夹逼准则
        • F7：定积分定义
        • F8：单调有界准则
        • F9：拉格朗日中值定理
      • 求极限常见题型
        • 1.0/0
          • 常用方法
            • 1.洛必达 2.等价无穷小 3.泰勒公式
          • 辅助
            • 1.提出非零因子 2.有理化 3.变量代换
        • 2.∞/∞
          • 常用方法
            • 1.洛必达 2.分子分母同除最高阶无穷大
          • 辅助
            • 1.无穷小+无穷小——忽略高阶无穷小 2.无穷大+无穷大——忽略低阶无穷大
        • 3.∞-∞
          • 常用方法
            • 1.通分化为0/0——适用分式差 2.根式有理化——适用根式差 3.提无穷因子，然后等价代换/变量代换/泰勒公式
          • 辅助
            • 1.化为∞/∞用其技巧 2.倒代换 3.因式可以等价无穷小
        • 4.0×∞
          • 常用方法
            • 1.化为0/0 2.化为∞/∞
        • 5.1的∞
          • 常用方法
            • 三部曲： 1.写标准型 2.求极限 3.写结果
        • 6.∞的0次方 与 0的0次方
          • 常用方法
            • 幂指函数代换
      • 数列的极限
        • 1.不定式
          • 常用方法
            • 与函数极限相同，洛必达不可直接用
        • 2.n项和的数列极限
          • 常用方法
            • 1.夹逼原理 2.定积分定义 3.级数求和
        • 3.n项和连乘的数列极限
          • 常用方法
            • 1.夹逼原理 2.取对数化为n项和
        • 4.递推关系定义的数列
          • 常用方法
            • F1：单调有界准则
            • F2：递推不等式
    • 题型三：确定极限式中的参数p15
    • 题型四：无穷小量阶的比较p15
      • 该题型就是求0/0极限
• 连续
  • 主要内容
    • 连续的概念
    • 间断点及其类型
      • 间断点概念
      • 间断点分类
    • 连续函数的性质
      • 连续函数的和差积商仍连续
      • 基本初等函数定义域内连续，初等函数定义区间连续
      • 闭区间上连续函数的性质
        • 有界性
        • 最值性
        • 介值性
        • ★零点定理
  • 常考题型及方法
    • 题型一：讨论连续性及间断点类型
    • 题型二：有界性、介值性、最值性、零点定理的证明题p17