高等数学 函数极限连续

您是否还在为考研烦恼n呢？此图整理了考研数学函数连续极限板块的所有知识点和题型总结，让您对高数有更多的把握！还在等什么，一起看看吧！

函数 极限 连续

• 函数
  • 函数概念、常见函数
  • 函数性态及判定
    • 单调性、奇偶性、周期性、有界性
  • 题型
    • 复合函数
    • 函数性态
• 极限
  • 极限概念
    • 数列极限
    • 函数极限
  • 极限性质
    • 局部有界
    • 保号性
      • 保序性
    • 极限值与无穷小之间的关系
  • 极限存在准则（主要考数列）
    • 夹逼准则（n项和的极限）
    • 单调有界准则（递推关系定义的数列极限）
  • 无穷小
    • 概念
      • f（x）当x→x0时的极限为0
    • 比较
      • 高阶
        • limβ(x)/α(x)=0，记为β(x)=o(α(x))
      • 同阶
        • limβ(x)/α(x)=C≠0
      • 等价
        • limβ(x)/α(x)=1,α(x)—β(x)
      • 无穷小的阶
        • limβ(x)/[α(x)]^k=C≠0,β(x)是α(x)的k阶无穷小
    • 性质
      • 有限无穷小和为无穷小
      • 有限无穷小积为无穷小
      • 无穷小与有界量积无穷小
  • 无穷大
    • 概念
      • limf(x)=无穷
    • 比较
      • x→+∞，ln^a x＜x^β＜a^x（α＞0，β＞0，a＞1）
      • n→∞，ln^a n＜n^β＜a^n＜n!＜n^n（α＞0，β＞0，a＞1）
    • 关系
      • 与无界变量
        • 无穷大量，都很大
        • 无界变量，有很大
        • 无穷大量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷大量
      • 与无穷小
  • 题型
    • 极限的概念、性质及存在准则(概念、理论）
      • 选择
      • 证明
    • 求极限（必考）
      • 常用方法
        • 有理运算法则
        • 基本极限
        • 等价无穷小
          • X→0,低阶＋高阶～低阶 x→0，被积函数等价，积分等价
        • 洛必达
        • 泰勒公式
        • 夹逼准则
        • 定积分的定义
          • 提可爱因子，确定被积函数和积分区间
        • 单调有界准则
          • ①证明存在；②等式两边求极限
      • 常见题型
        • 函数极限 （七种不定式）
          • 0/0（处理分母因子）
            • 常用方法
              • 洛必达
              • 等价无穷小替换
              • 泰勒公式
            • 化简手段
              • 极限非0因子先求
              • 有理化
              • 变量代换
          • ∞/∞
            • 常用方法
              • 洛必达
              • 分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
          • ∞-∞
            • 常用方法
              • 通分化为0/0（分式差）
              • 根式有理化（根式差）
              • 提无穷因子，后等价代换或变量代换、泰勒公式
          • 0•∞
            • 常用方法
              • 化为0/0或者∞/∞
          • 1^∞
            • 常用方法
              • 凑基本极限
              • 改写成指数
              • 利用结论（三步法）
          • ∞^0和0^0
            • 一定是幂指函数，改写成指数形式，化为0•∞
              • 推广结论：limx→0＋ x^α㏑^n x=0 α＞0，n为正整数
        • 数列极限
          • 不定式
            • 与函数不定式极限方法相同，但不能直接用洛必达，要改写成函数极限
          • n项和
            • 夹逼原理
              • 放缩思想，所有分母取最大，所有分母取最小
            • 定积分定义
            • 小结
              • 变化部分是主体次量级，用夹逼原理，变化部分/主体部分极限=0
              • 变化部分与主体同量级，用定积分定义，变化部分/主体部分极限=1，不为0
              • limn→∞ n^√a1^n+a2^n+…+am^n=max1≤i≤m｛a i｝ai＞0（i=1，2，…，m）
            • 级数求和（数二不要求）
          • n项连乘
            • 夹逼原理
            • 取对数化为n项和
          • 递推关系x1=a，xn+1=f(xn)(n=1,2,...)
            • ①证明｛xn｝收敛(单调有界准则),②等式xn+1=f(xn)两段取极限得A=f(A)
            • ①令limn→∞ xn=A，②等式两端取极限得A，③证明limn→∞ xn=A
              • ③关键核心利用xn=f（xn-1）证明一个递推不等式，|xn-a|≤A|xn-1—a|，其中0＜A＜1。 a简单时直接代入数字，复杂代a=*
            • 单调性判定方法
              • xn+1-xn≥0（≤0），则单调增（减）
              • ｛xn｝不变号
                • xn＞0，xn+1/xn≥1(≤1)，单调增(减）
                • xn＜0，xn+1/xn≥1(≤）1，单调减（增）
              • ｛xn｝由递推关系确定
                • f(x)单调增，当x1≤x2单调增；当x1≥x2单调减
                • f(x)单调减，｛xn｝不单调
                  • 不单调直接用方法②
    • 确定极限式中的参数
      • 选择填空可以抓大（x→∞）； 确定左边极限类型，求极限；
      • 同时求出a，b
      • 逐个求出a，b
    • 无穷小量阶的比较(0/0型极限)
      • 常用方法
        • 确定阶归纳
        • 洛必达（求导定阶）
          • x→0时f(x)是无穷小量，且f'(x)是x的 k(k≥0)阶无穷小，则f(x)是k+1阶无穷小量
        • 等价无穷小代换
          • x→0时f(x)是无穷小量，且f(x)～Ax^k(A≠0，k＞0)，则f(x)是x→0的k阶无穷小量
        • 泰勒公式
      • 常见题型
        • 排序
        • 最高（低）阶
        • 题型方法
          • ①两两比较
            • 定义直接比较
          • ②估阶
            • 不定积分上下限都变要估阶，决定阶数的是低阶的限
            • 定义确定（极限除以x^k，极限＝C≠0）
            • 求导定阶
            • lim x→0 f(x)/g(x)=1，则f(t)在φ(x)到0的区间的积分～g(t)φ(x)到0的区间的积分，其中limx→0 φ(x)=0
            • 结论：f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x→0时f(x)是x的m阶无穷小，φ(x)是x的n阶无穷小，则当x→0时，F(x)=∫φ(x) 0 f(t)dt是x的n(m+1)阶无穷小
• 连续
  • 连续概念
    • limx→x0 f(x)=f(x0)或lim△x→0 →△y=0，则称f(x)在x0连续
    • f(x)连续=f(x)左连续且右连续
  • 间断点
    • 概念
      • f(x)在某去心邻域有定义，但在x0不连续
    • 分类
      • 第一类间断点（左右极限都存在）
        • 可去间断点（存在相等）
        • 跳跃间断点（存在不相等）
      • 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
        • 无穷间断点左右（至少有一个为无穷）
        • 震荡间断点
  • 连续函数性质
    • 和差积商复合仍连续
    • 基本初等函数在定义域连续，初等函数在定义区间连续
    • 闭区间上连续函数的性质
      • 有界性
      • 最值性
      • 介值性
        • 推论：f(x)在[a，b]连续，则f(x)可取到介于最小值m和最大值M间的任何值
      • 零点定理
  • 题型
    • 讨论连续性及间断点类型
    • 介值定理、最值定理及零点定理的证明题