线性代数

2021年考研线性代数知识点全部。

线性代数

• 行列式
  • 概念
  • 性质
    • 1、行列互换，行列式的值不变
    • 2、某行某列公因数可提出
    • 3、对换行列式两行位置，行列式变号
      • 推论：两行相同等于0；两行成比例等于0
    • 4、如果某行某列是两个元素之和，即可把行列式拆成两个行列式之和
    • 5、某行某列的k倍加到另一行或列，行列式的值不变
  • 行列式展开公式：n阶行列式的值等于它的任一行或列元素与其对应代数余子式乘积之和
  • 几个重要公式：
    • 1、上（下）三角形行列式
      • p
    • 2、范德蒙行列式
    • 3、拉普拉斯行列式
  • 克拉默法则
• 矩阵
  • 概念：mxn个数排列成的数表
  • 方阵：m=n时，叫做n阶矩阵或者方阵。注：1、只有方阵才有|A|；2、A=0和|A|=0不要混淆
    • 公式:
      • 1、
      • 2、
      • 3、
      • 4、
  • 特殊矩阵：
    • 零矩阵
    • 同型矩阵：A和B都是mxn矩阵
    • 上、下三角行列式
    • 对角矩阵：
      • 1、
      • 2、
      • 3、
      • 4、
      • 5、
    • 对称矩阵：
    • 反对称矩阵：
    • 正交矩阵：
  • 伴随矩阵:
    • 重要公式：
      • 1、
      • 2、
  • 逆矩阵:对于n阶矩阵，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。
    • 定理
      • 定理1：若矩阵A可逆，则|A|≠0
        • 推论：A、B是n阶矩阵，如果AB=E，则
      • 定理2：
    • 性质
      • 1、若A可逆，则
      • 2、若A可逆，且k≠0，则kA可逆，
      • 3、如A、B均可逆，则A、B也可逆，且
      • 4、如A可逆，则
  • 分块矩阵：
    • 运算法则：
      • p
  • 矩阵的初等变换
    • 初等变换
      • 倍乘
      • 互换
      • 倍加
    • 初等矩阵：矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
      • 左乘行变换，右称列变换
    • 矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变化变成B，则A与B等价
    • A可逆 A可以表示成为若干个初等矩阵乘积
  • 矩阵的秩
    • k阶子式定义：在mxn矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n）位于这些行和列的交叉点上的k个元素按其原来在矩阵A的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式
    • 秩的定义：若矩阵A中存在r阶子式不为0，r+1阶（如果存在）子式全为0，则称矩阵A的秩为r，记成r（A）=r。零矩阵的秩规定为0
    • 注：
    • 定理：经初等变换矩阵的秩不变
    • 公式
      • 1、
      • 2、
      • 3、r(A)≤r(A)+r(B)
      • 4、r(kA)=r(A) k≠0
      • 5、r(AB)≤min（r(A),r(B)）
      • 6、如P,Q可逆，则r(PAQ)=r(A);r(PA)=r(A);r(AQ)=r(A)
      • 7、
      • 8、max(r(A),r(B))≤r(A|B)≤r(A)+r(B)
• 向量
  • n维向量：n个数构成的有序数组成为n维向量
  • 零向量：所有分量都是0的向量
  • 向量的运算：
    • 加法
    • 数乘
    • 内积：
      • 定义：
      • 正交：
      • 向量的长度：
      • 运算法则
      • 定理：若n维向量是一组两两正交的非零向量，则无关
  • 线性表出
    • 线性组合
    • 线性表出
      • 概念：如果向量β能表示为
      • 定理2：如果向量组
        • 推论：向量组A：
    • 线性相关
      • 定义：给定m个n维向量，
      • 定理1：
        • 推论
          • 1、
          • 2、n+1个n维向量必线性相关
          • 3、若
      • 定理2：向量组
      • 定理3：
      • 定理4：
      • 证明方法
    • 线性无关
      • 定义：
      • 证明方法：
        • 1、定义法
        • 子主题
    • 向量组的秩
      • 极大无关组
      • 秩
    • Schmidt正交化
• 线性方程组
  • 非齐次线性方程组AX=b
    • 定理：有界判定
      • 1、
      • 2、
      • 3、
        • 定理1：
    • 定理：矩阵方程AX=B有解
    • 解的结构：对于Ax=b，
  • 齐次方程组
    • 定理：
      • 推论：1、当m＜n时，AX=0必有非0解；2、当m=n时，AX=0有非0解
    • 定理：如果齐次方程组系数矩阵的秩r(A)=r＜n，则齐次线性方程组有n-r个线性无关的解，且其任意一个解都可以由这n-r个线性无关的解线性表出
  • 基础解系
• 特征值与特征向量
  • 定义：设A为n阶矩阵，α是n阶非0向量，满足
  • 求法
    • 1、定义
    • 2、
  • 定理：
    • 定理1：矩阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的
    • 定理2：
    • 定理3：
  • 相似矩阵
    • 定义：
    • 基本性质：
      • 1、
      • 2、
      • 3、
      • 4、
        • 1、
        • 2、
        • 3、
        • 4、
      • 5、
        • 1、
        • 2、r（A）=r（B）
        • 3、|A|=|B|
        • 4、
    • 可对角化
      • 定理：
        • 定理1：
          • 推论：如A有n个不同的特征值，则
        • 定理2：如
        • 定理3：
• 二次型
  • 概念
    • 1、二次型及其矩阵表示
    • 2、标准形
      • 如
      • 化为标准形的两个方法
        • 1、配方法
        • 2、正交变换法
          • 定理：
    • 3、规范形
      • 如
    • 4、正、负惯性指数
      • 惯性定理：对一个二次型，经坐标变换变换为标准形，其正、负惯性指数都是唯一确定的
    • 5、二次型的秩
      • r(f)=r(A)
    • 6、坐标变换
    • 7、合同
      • 定义：如
      • 性质：
        • 1、反身性
        • 2、对称性
        • 3、传递性
      • 判定：（充要条件）矩阵A和B合同具有相同的正、负惯性指数
    • 正定二次型
      • 定义：
      • 定理：二次型经坐标变换，其正定性不变
      • f正定的充要条件
      • f正定的必要条件：