张宇线代9讲行列式

考研线性代数知识点汇总，下图为张宇线性代数第九讲行列式笔记，是张宇30讲的补充。

行列式

• 概念
  • 以n个向量为邻边的n维图形的体积
    • 行列式是一个数，矩阵是表格
  • 排列
    • 由1、2...n组成的有序数组称为n阶排列，常用j1j2j3..jn表示，ji是里面的某一个数
      • 例子： 2 4 1 3 --4阶排列 1 3 5 4 2 --5阶排列
    • 排列用于判断行列式展开后各项前的系数是1还是-1
  • 逆序
    • 在排列中，一个大的数排在一个小的数前面，就称这两个数构成一个逆序
      • 例: 2 4 1 3 41 43是两个逆序
  • 逆序数
    • 一个排列逆序的总数，称为这个排列的逆序数
      • 例: (1 3 2) = 0+1 (2 4 3 1) = 1+2+1 (3 1 5 4 2) = 2+0+2+1
    • 逆序数根据是偶数还是奇数分为偶排列、奇排列
• 性质
  • 性质1
    • 经过转置，行列式的值不变
  • 性质2
    • 两行(列)互换位置，行列式的值变号
      • 注意矩阵的区别 矩阵初等行变换不改变不变号
  • 性质3
    • 某行(列)有公因子k，可以直接提取k
  • 性质4
    • 某行(列)是两个元素之和，其它行(列)对应相等，可以把行列式拆成两个行列式之和
      • |A+B| ！=|A|+|B| 考的是E恒等变形
  • 性质5
    • 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式值不变
      • 用最多
  • 直接判断
    • 某两行(列)成比例，行列式为0
    • 某一行(列)全为0，行列式为0
  • 概要
    • A是n阶，
    • A是n阶，
    • AB都n阶，|AB| = |A||B|
    • A是n阶，
    • A是n阶可逆，
    • A是n阶，λi 是A的特征值，
• 行(列)展开公式
  • 先行概念
    • 余子式
    • 代数余子式
  • 定理
    • 定理1
      • n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和
    • 定理2
      • 行列式的任一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余子式乘积之和为0
        • 比如第一行元素乘第二行元素的代数余子式，和为0
    • 定理3
  • 适用于计算阶数很低或者0元素很多的行列式
• 行列式的计算
  • 具体型
    • 化为“12+1”基本型行列式
      • 上(下)三角形
        • 等于主对角线元素的乘积
      • 副对角线(副上下三角)
        • 乘副对角线所有元素
      • 拉普拉斯展开式
        • A,B分别为m阶和n阶矩阵
        • 两种
          • A,B在主对角线上
            • 行列式=|A||B|
          • A,B在副对角线上
            • 行列式=
      • 范德蒙行列式
    • 拆分法
      • 将一个复杂的行列式拆成两个简单的行列式
    • 爪型处理
      • 对角线元素乘一个数与边(列)相消
        • 变成上(下)三角再运算
    • 加边法
      • 添加一列
    • 特殊行列式
      • 三对角线型
        • 方法
          • 逐行相加
            • 第i行k倍加到i+1行
              • 目的变成上三角
          • 每一行加到第一行
            • 第i行k倍加到第一行
              • 最后变成展开公式加三角
          • n阶考虑数学归纳法/递推法
            • 现在草稿纸上化简，根据结果再选择合适的归纳形式
            • 第一归纳法
            • 第二归纳法
      • 行和(列和)相等的行列式
    • 递推法
    • 数学归纳法
      • • 证明:结果已知的题
  • 抽象型
    • 用行列式的七个性质
      • 行列式恒等变形，化成已知的行列式
    • 将向量的线性组合换成矩阵乘积的形式
    • 用矩阵知识
    • 用相似理论
      • 若|A|相似于|B|,则|A|=|B|