公考数量关系思维导图

公务员考试重难点知识分析，行测数量关系题为什么老出错？分享一张超全知识点总结，包含数量关系解题技巧，踏实复习就能稳稳过！

数量关系

代入排除和数字特性

代入排除法

固定题型

年龄问题

余数问题

多位数

不定方程

不会做

数字特性

奇偶特性

加减

偶数加减偶数等于偶数

奇数加减奇数等于偶数

奇数加减偶数等于奇数

乘

奇数乘以奇数等于奇数

奇数乘偶数等于偶数

偶数乘偶数等于偶数

适用题型

知差求和

知和求差

二倍类

平均分

不定方程

整除特性

被2（5)整除

末一位能被2和5整除

被4和25整除

末两位能被4和25整除

被8和125整除

末三位能被8和125整除

被3和9整除

其各位数字之和能被三或九整除

比例倍数特性

普通倍数

因子倍数

X=a×b×c

X，等于15×12×11。

等于3×5×3×4×11

X是15和12的倍数

X是3、5、4、 11的倍数

X是ABC的倍数

比例倍数

例如

男女比例为7:4，于是。

男的人数是七的倍数

女的人数是四的倍数

总人数是11的倍数

两者之差是三的倍数

若A:B=m:n，或a/b=m/n，或a=m/n✖️b

所以a是m的倍数

b是n的倍数

a+b是m+n的倍数

a-b是m-n的倍数

a/（a+b）=m/（m+n）

适用题型

倍数

谁是谁的几倍？

百分数

男生人数是总人数的17%

分数

男生是女生的9/4倍

女生占总人数的5/9

比例

男比女等于7比4

分组

七男五女分一组

所以男生比女生是7比5

方程法

普通方程

适用题型

和差倍比

鸡兔同笼

盈亏问题

经济利润

凌晨问题

经济问题

三条原则

优先设所求量

设小不设大

例如

甲是乙的3倍

丙比乙的4倍多三

问总数是多少？

设乙为未知数

设中间变量

是中间出现的量

不定方程组

解是不确定的。

限制性不定方程

3x+4y=20

如果xy代表人盒子，桌子等整数。

运用奇偶特性

3x+4y=20

20为偶数4y也为偶数

所以3x等于偶数。

所以x为偶数

应用因子倍数特性

11a+7b=121

11和121都是11的倍数

7b=11×(11-a)

所以7b也是11的倍数

所以b等于11

尾数法

3x+10y=41

10y的尾数是零

41的尾数是一

所以，3x的尾数也是一。

所以，x=7y=2。

尾数确定的

5.10

不定方程组

消元减法

X+y+z=10

X+y+7z=20

工程问题⭐

公式

工程总量=工作效率✖️工作时间

W=et

给定时间型

例如

一项工程甲单独30天完成，乙单独45天完成，两人合作几天完成？

做题思路

列表

W=et

甲的时间是30

乙的时间是45

赋值

赋工程总量为时间的公倍数

工程所以总量为90

求各自的效率

甲的效率为三

乙的效率为二

分析求解

时间等于90÷5=18

效率制约型

例如

一项工程甲和乙的工作效率比为2:3，合作八天完成，甲单独几天完成？

①甲比乙等于2比3

②现在的效率提高20%

1比1.2等于5比6

③42台收割机

收割机是一模一样的

默认工作效率是一样的

④某一部分工程量，甲做需要五天，乙完成需要三天。

隐含甲乙的效率之比是3:5

做题思路

列表

标出工程总量，工作效率，工作时间。

赋值

赋效率的比值

设甲的工作效率为二，乙的工作效率为三。

求出工程总量

解出问题

行程问题

基础公式类

路程等于速度乘以时间

S=vt

速度和时间成反比

Vt

速度和路程成正比

Sv，成正比。

时间和路程成正比

ST，成正比。

等距离平均速度

平均速度=2v1v2/(v1+v2)

平均速度=2S/(s1/v1+s2/v2)

①上下坡

上坡的速度v1,下坡的速度是v2

②往返（从家到回校）

去的速度是v1回来的速度是v2

相对速度型

流水行船

V顺=v船+v水

V逆=V船-v水。

S路程=V逆（v船-v水）✖️t

相遇追及

相遇

例如

北京到上海

北京的复兴号高铁速度350千米每小时

上海的和谐号为300千米每小时

两者相对开多久相遇？

时间等于两地距离除以两地速度和

S相=(v1+v2)×t。

追及

和谐号从保定往上海开

复兴号从北京往上海开

北京到保定相距98千米

在到达上海之前，复兴号能否追上保定的和谐号。

时间等于两地距离除以两地的速度差

时间等于追及的路程除以大速度减小速度

S追=(v大-v小)乘以t

环形跑道

相遇

操场为400米

AB从相反的方向走，第一次相遇时,一共走了s400米

第n次相遇时一共走了ns

一共走2200米相遇五次

追及

操场为400米

AB从同向出发。

第一次追上时多跑了s=400米

第二次相遇是多跑了两倍，而2s=800。

第n次相遇时多跑了ns

多跑1900米，追上了四次。

两端相遇

A从北京到上海,再回北京

B从上海到北京，再回上海

两者第一次相遇时一共走了一个S

两者第二次相遇时一共走了3S

两者第n次相遇水一共走了(2n-1)s

假设一共走了2200千米一共相遇了11次

排列组合问题

分类

加法

从北京到天安门

坐地铁，坐公交车1路、52路、76路，坐出租车，坐专车

就有七种乘车方案

分布

做一件事情先做什么再做什么？最后做什么？

北京到天安门有地铁出租车，专车，公交车1、52、72路六种方案。

天安门到奥体有地铁公交2路、8路两种方案

北京到奥体有6✖️3=18种方案

用乘法

A排列array

有顺序

六个人排个队

宿舍六个人，去窗口排队打饭。有谁先打后打的顺序

排第一个有六种情况

排第二的有五种情况

排三个的有四种情况

排第四个都有三种情况

排第五个的有两种情况。

排第六个人有一种情况。

所以，有6×5×4×3×2×1=720种可能性。

宿舍六个人只有三个人去窗口排队打饭

排第一个的六种情况

排第二个的五种情况

排第三个的有四种情况

所以，有6×5×4=120种可能性。

C组合combination

没有顺序

56人中选出五个人去搬书，把这五个人组合成一个组合。这五个人没有顺序

组合是把人组合到一起，没有顺序。

宿舍六个人，选出三个人去食堂打饭，每个人拿两份回来

三个人后到窗口排队

＝六个人去窗口排队打饭

=六个人去窗口排队打饭减去三个人排队的概率。

所以总共有（6×5×4）÷（3×2×1）=20种概率

捆绑法——相邻问题

舍友六个人去窗口排队打饭，社长带了个女朋友，有七个人。

舍友和女朋友必须挨在一起

所以舍友女朋友看做一个人

舍友和女朋友的前后顺序也有2✖️1种可能

所以总的可能是6×5×4×3×2×2=1440种可能

插空法——不相邻问题

宿舍六个人，去窗口排队打饭，社长和老二吵架了。

两人不排在一起

先排其他四个人有4✖️3✖️2✖️1=24种可能

四个人中间有五个空

将舍长和老二排进这五个空里

两人的可能（是5×4）÷2=10

乘上两人按顺序排队的可能2✖️1=2种

所以两人的总的可能是5×4✖️2=20

所以，宿舍六个人排队打饭总额可能是4×3×2×1×5×4=480

注意有无顺序

插板法

爸爸去菜市场买十个一样的桔子分给我、弟弟和妹妹，至少每人一个，请问有多少种情况？

十个橘子中间有九个空，往九个空中间插两块板子。

所以，概率是从中间选两个。C92=（9✖️8）/2=36种可能

N个相同的物品，M个人分，至少每人分一个。

有n-1个空

插m-1个板子

所以概率就是n-1中选M-1个，C（n-1）（m-1）种可能

错位排列

厨师①做a菜，厨师②做b菜，两者互相尝菜，请问有多少种可能？

有①b②a一种可能

D2=1

两个人错位排列等于一

三个人错位排列等于二

四个人错位排列等于九

五个人错位排列等于44

概率问题

概率=满足条件的情况数➗总的情况数

比如

色子摇出三的概率

总的情况是六，摇出3的情况是一，总的概率就是1/6。

摇出豹子的概率是

总的情况是，6×6×6。

摇出豹子的概率是六

总的概率就是1/36

分步乘法型

分步概率=满足条件的各种情况概率之积

逆向计算型

某事件的概率=1—该事件不发生的概率

某件事情不发生的概率是2%，某件事情发生的概率就等于一减20%等于98%。

经济利润问题

利润率=利润/成本

总利润=利润✖️数量

利润=售价-成本

毛利润=利润➗营收

基本经济利润

一件衣服的成本是100元，定价150元，售价为150元，利润是50元，数量为400件，利润就是50×400=20000。

列表法

列出:成本 定价 售价 利润✖️数量=总利润

方程法

赋值法

分段计算

画图法

画数轴

最值问题和容斥原理

最值问题

最多怎么样？最少怎么样？

最不利构造

最倒霉的意思

至少要拿多少分及格？60分及格，最倒霉是59→最不利值+1，所以至少要拿60分及格

口袋里有三个红球，四个黑球，五个白球。

问:至少摸出多少个球才能保证一定能够出一个白球？

最倒霉的情况是摸出三个红球，四个黑球。

最不利值是七

再加上一

所以至少要摸出八个球，才能保证摸出一个白球。

问:至少摸出多少个球才能保证一定摸出两个颜色相同的球？

最倒霉的情况是每个球摸出一个，

最不利值是三

再加上一

所以至少要摸出四个球，才能保证一定摸出两个颜色相同的球。

数列构造

排列——定位——构造——求和

最多的人最少怎么样？

例如

总共有100只比六个人分每个人分的都不同

问:分的最少的人，最少能分得多少只？

一只

问:分的最少的人，最多能分得多少只？

假设分的最少的人分x只笔

定位

因为老六要分的最多，所以其他五个人要尽可能的少

构造

所以第五分x+1支笔

排名第四的分x+2之笔

排名第三的三x+3

构造

排名第二的人分x+4

排名第一的人分x+5之笔

构造

所有人之和等于100

6x+20=100

求和

得出x=14.15

最多往下取，反向取最小

所以X取14。

多集合反向构造

问题中出现至少……都……的情况下

都喜欢的反面是不都喜欢的最多

所以 都喜欢=所有—不都喜欢的最多。

采用逆向思考，反向 求和 做差

社团有46个人，其实35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？

反向

不喜欢戏剧的有11人

不喜欢体育的有16人

不喜欢写作的有八人

不喜欢收藏的有六人

求和

不喜欢的总和有11+16+8+6=41

做差

社团总人数46—所有都不喜欢的和41=5

容斥原理

几个集合之间？既有重复的部分，也有独立的部分。

两集合容斥

公式法

A+b-A交B=总数—都不

画图法

三集合容斥

覆盖的面积=a+b+c-a交b-b交c-a交c+a交b交c=总数-都不

三集合非标

覆盖的面积=a+b+c-满足两个条件的-2✖️满足三个条件的=总数-都不

使用标志: 题目中出现满足两个条件，或者只告诉你满足两个条件。

多集合的反向构造

几何问题

周长

正方形的周长等于4a

长方形的周长=2（a+b）

圆的周长=2πr

扇形的周长=弧长+2r=(n/360)✖️2πr+2r

面积

正方形的面积等于a的平方

长方形的面积等于长乘宽

圆的面积=πr²

三角形的面积等于(1 /2)ah

梯形的面积等于上底加下底除以二乘以高

扇形的面积=n/360°乘以πr²

表面积

正方形的表面积等于6a²

长方体的表面积=2ab+2 ac+2bc

球的表面积=4πr²

体积

正方体的体积等于a的立方

长方体体积等于ABC

球的体积=4/3（πr³）

圆柱体积=底面积S✖️高h=πr²h

圆锥体积=1/3（底面积S✖️H高）

棱柱体积等于sh

棱锥体积等于1/3sh

勾股定理

345

6 8 10

9 12 15

5 12 13

7 24 25。

8 15 17

角度和三角形

直角三角形，30度角。

底边是斜边的一半

直角三角形，45度。

等腰直角三角形

两斜边相等

底边为一，另外两条边为二分之根号二。

三个角都是60度

三条边相等

S=（四分之根号三）a²

正六边形

正八边形

相似三角形

同位角相等

三角形ADE相似于三角形ABC

边长之比的平方等于面积之比

两直线平行内错角相等

对顶角相等

年龄问题和溶液问题

年龄问题

优先使用代入排除法

方程法

核心点:每人每年长一岁，两个人的年龄差不变。

溶液问题

浓度=盐➗盐水总量=糖➗糖水总量=酒➗酒水总量

20度时，36克的氯化钠溶解于100克的水中，浓度是多少？

浓度=36÷136

牛吃草和循环周期

牛吃草问题

有一定的存量，既在均匀的增加，又在消耗。

牛吃草

一片草地（草以均匀的速度生长），240头牛可以吃六天，200头牛可以吃十天，则这片草原可供190头牛吃的天数是？

假设每头牛每天吃一份草

假设这片草地有y份草，每天长x份草。

每头牛每天吃的草减去每天生长的草，这是每天减少的量，再乘以吃完的时间，就等于牛把草全部吃完。

所以:（240-x）✖️6=y （200-x）✖️10=y

挖沙子

80人连续开采六个月60人连续开采十个月

检票

的东西同时开四个检票口，需要50分钟，同时开6个检票口需30分钟。

泄洪

打开十个泄洪闸，八小时可以恢复安全水位，打开六个，需要24小时。

水池

五台抽水机40小时可以抽完，使台抽水机15小时可以抽完。

循环周期问题

若一串事物以T为周期，则A÷T=N余a，那么第A项等于同于第a项

如果可以整除，那么第A项就相当于周期当中的最后一项及第T项。

星期日期问题

平年与闰年

四年一闰百年不闰400年再闰

大月31天

小月30天

二月闰年29天平年28天

星期日期推断

连续七天包含了星期一到星期天各一天

连续14天包含了星期一到星期天各两天

连续28天包含了星期一到星期天各四天

比赛问题

淘汰赛

每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍。

100个人的淘汰赛

第一次50v50

第二次25v25

第三次12v12轮空一人。

第四次6v6 一人轮空。

第五次3v3，一人轮空

第六次，2v2。

第七次1v1

总共安排了99场比赛

循环赛

单循环

每支队伍都要和其他队伍进行1次比赛，N支队伍的总场次是CN2=N（N-1）/2

积分制

双循环

每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N支队伍的总场次是AN2=N（N-1）

统筹优化问题

统筹优化

枚举法

逻辑推断

选出必须要完成的，或者说不能缺少的部分

将可以省略的部分与不能缺少的部分一起完成

最佳的时间就是不可少部分的完成时间

某餐厅要用三个炉灶做出9道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是1 2 3 4 4 5 5 6 7分钟，每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴，那么最少经过多少分钟，该餐厅可以坐完全部菜呀？13分钟

钟表问题

本质是追及问题

分针速度为360度除以60分钟等于8度每分钟

时间的速度为30度除以60分钟等于0.5度每分钟

零点开始，24点结束，重合了多少次？

跑得慢的时针跑了两圈

跑得快的分针，跑了24圈。

多跑了22圈

所以，两者重合22次

重和前后都会呈现两次垂直

垂直了44次

3点19分时，时针和分针的夹角多少度？

找到上一个准点三点。

时针和分针的夹角为90度

时针在前，分针在后。

19分钟后，分针追时针（6-0.5）×19度。

再减去90度等于14.5度，即分针追上时针后又超出时针14.5°

所以，时针和分针的夹角为14.5度。

植树问题

单边线性植树

两个间隔种三棵树。

N个间隔种N+1棵树

棵树等于总长除以间隔加上一

总数等于棵树减一乘以间隔

马路两边都要植树，要乘二。

单边环形植树

两个间隔，两棵树，四个间隔四棵树。

N个间隔N棵树

棵数等于总长除以间隔

总长等于棵数乘以间隔

函数问题⭐

一次函数

Y=kx+b

k越大，函数越陡。

二次函数

Y=ax^2+bx+c

A为正数抛物线向上

A为负数抛物线向下

当抛物线取极值时，x=-b/2a

A+b=10 AB=25

数列天平空瓶换酒方阵

数列问题

平均数等于每个人的数之和除以个数

等差数列

An的=a1+（n-1）d

求和公式为

和=1/2（首项+末项）✖️项数=平均数✖️项数=中位数（最中间的数)✖️项数

天平称量

选择最少的

空瓶换酒

我们将m个瓶空瓶换一瓶酒转化为m-1个空瓶换一个瓶酒来完成答题

默认借瓶再换瓶

12个啤酒空瓶可以免费换一瓶啤酒，现有101空啤酒瓶最多可以免费喝到的啤酒为？

最多换=101÷（12-1）=9瓶

方阵

若正方形方阵一边人数为n，长方形方阵两边人数分别为mn。

正方形实心方阵的总人数为n²，长方形实心方阵的总数为mn。

正方形方阵最外层人数为4n-4，长方形方阵最外层人数为2（M+N）-4

方阵相邻两层人数相差八人

打牌问题

第一次拿完牌后，恰好凑成最大、最小数之和的倍数。

例如

一副扑克牌共54张，甲乙两人轮流拿，每人每次只能拿123或者四张，谁拿到最后一张谁赢，若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张牌才能保证获胜？

甲应该拿四的倍数张牌，剩下1+4=5的倍数张牌