行列式的概念、性质和展开

自己总结的有关线性代数的知识点，包括排列和行列式的性质两大内容。

行列式的概念、性质和展开01

• 排列
  • 逆序
    • 定义：i > j，构成逆序；如“321”中，3和2，2和1，3和1构成逆序数。
    • 逆序数
    • 定义：一个排列中逆序数总数。
    • 奇排列
      • 定义：
        • 逆序数为奇数的排列叫奇排列。
    • 偶排列
      • 定义：
        • 逆序数为偶数的排列叫偶排列。
    • n阶行列式
      • 列标 j 的逆序数是奇数，展开项前是负号；
      • 列标 j 的逆序数是偶数，展开项前是正号
• 行列式的性质
  • 1、
    • 转置性 行列式的行与列互换，行列式的值不变
  • 2、
    • 互换反号 行列式的两行（或列）对换，行列式的值变号
  • 3、
    • 数乘性 行列式的某行（或列）元素有公因子k，则可把k提到行列式的外面
    • 零值性质
      • （1）行列式中两行（列）元素对应成比例，则行列式为0；
      • （2）行列式中两行（列）元素相同，则行列式为0；
  • 4、
    • 加法性 如果行列式某行（或列）元素皆为两数之和，则其行列式等于两个行列式之和
  • 5、
    • 倍加性 在行列式中，把某行各元素分别乘 非零常数k ，再加到 另一行 的对应元素上，行列式的值不变
  • 几类特殊行列式
    • 1、关于主对角线的三角行列式
    • 2、关于副对角线的三角行列式
      • 自定义命令右斜三角：
    • 3、范德蒙行列式（
      • 公比之差的连乘
    • 4、利用行列式的加法运算性质
  • 已知行列式，求行列式
    • 行和相等，加列；列和相等，加行。
    • 例：计算n阶行列式（
      • “爪”形
        • 利用对角线的元素将某行（或列）化为0
  • 余子式与代数余子式（除去a_ij所在行、列）
    • 代数余子式：
    • 行列式的展开定理
      • 推论：（错位展开）
      • （“
        • 两线一星 ”型）按照*所在的行（或列）展开
      • （“
        • 三对角 ”型）
      • ①利用性质，化为上（下）三角；
      • ②展开，移项，递推。