向量与线性空间

清华大学考前复习，拯救你的线代

向量与线性空间

• 向量的基本运算
  • 柯西定理
  • 明科夫斯基
• 向量空间
  • 线性空间的定义
    • 两个要素
      • 向量组
        • 向量之间定义加法
      • 数域
        • 向量与数之间定义数乘
    • 封闭性
      • 例如：次数等于n的多项式多半不为线性空间 次数不大于n的多项式可能为线性空间
        • 其实就是与0的数乘可能不封闭
        • 也就是，空间必须包含0向量
    • 八条公理
      • 加法——交换律与结合律
      • 定义零向量，与零向量加法不改变
      • 定义每一个向量的负向量，正负之和为零向量
      • 与1的数乘不改变
      • k·(l·u)=(k·l)·u（仅u为向量）
      • 数乘有分配律
    • 线性子空间：线性空间的封闭子集就是线性子空间
      • 子空间一定含有0向量
      • 仅需在线性空间的基础上验证子空间即可
    • 生成子空间
      • 向量组的所有线性组合
      • 维数
        • 向量组的秩
• 向量组
  • 核心： 线性相关
    • 线性相关:理解为求基的过程
      • 基的个数与向量的个数比较
        • 转置行变换
        • 列变换
  • 可线性表示
    • “α向量组+b线性相关”和“b可由α向量组线性”表示不同！！！
      • 前者←后者
      • 有可能α向量组本身就线性相关但是b不可由α向量组表示
        • b+α组线性相关且α组自身线性无关则b可由α组线性表示
    • 唯一方法：AX=b是否有解
      • 准确地确定r
        • 对于r，m，n的考量（必须先行变换化简为下阶梯阵）
        • 对增广矩阵消元，但是所有的r，n，m均是对a而言的
      • 有特解才讨论零空间
        • r和m的关系
          • r<m则特解0或1个
          • r=m则特解1个
        • r与n的关系
          • r=n，零空间为0
          • r<n，零空间存在