一元函数微分学

一元函数微分学的思维导图，汇总了微分中值定理的运用、函数的单调性、极值最值问题、证明函数不等式的知识。

一元函数微分学

• 导数的概念题
  • 题型一：函数的求导
    • 类型一：多个函数（一般大于3）连乘
      • 1·给出具体点可以用导数定义。
      • 2·可以设不为0的式子为g(x)，然后进行求导。
      • 3·对数求导法（连乘连除开方乘方）
    • 类型二：可导性判断
      • 一般是伴随连续和可积的概念或者有界的概念考察
        • 采用的方法是首先利用极限的存在准则确定某一点值的大小，再结合导数的定义。
        • 注意可导的充要条件一般为一动一静，同时根据极限推可导时必须父母既趋于0+又趋于0-；整体存在不能说明个体存在
        • 求解f(x)=g(x)|x-a|在x=a点的连续时，f(x)在a点连续的充要条件是g(x)=0，可以举一反三到其他中。
        • 着重于考察间断点、|x|存在时绝对值为0的点。
    • 类型三：高阶导数求导
      • 1.代公式
      • 2.分离复杂的函数为常见的函数。
      • 3.归纳
      • 4.泰勒公式（泰勒级数）
    • 类型四：隐函数求导
      • 转换为参数，或者公式求导，或者直接两边对x求导
    • 类型六：复合函数求导
      • 注意定义域
    • 类型七：分段函数求导
      • 导数在分界点处一般用定义求。
    • 类型八：参数求导
      • 公式
  • 题型二：导数的几何意义：
    • 斜率
      • 隐函数求导
    • 会联系微分方程
• 微分中值定理的运用
  • 题型一：求
    • 无导数无积分，首先想到零点定理和介值定理，准确来说左右两边可以在同一阶中。
      • 零点定理关键是寻找函数的正负关系
        • 1.求导的单调性。
        • 2.函数极限的存在法则
        • 3.代入已知值判断
        • 4.利用泰勒或者已知不等式放缩判断
      • 找零点可以用罗尔定理的推论判断至多，再用正负判断至少。
    • 介值定理：即存在函数介于最大、最小值之间，关键在于寻找两点之间的函数值作为中介，使之等于要求的函数
      • 首先构造要求得函数，明确定义域；
      • 所求函数的值位于某两值之间，可以是定义域区间端点之间，或者是中点
      • 同时原函数有f(ξ)位于两点之间，使g(x)=f(ξ)成立
      • 画图有助于更好的理解
      • 反证法
    • 常规做法：设F(X)=f(x)-g(x),求导取零点
  • 题型二：方程根的个数
    • 类型一：有参数问题
      • (1）尝试分离（简单不分离也可以）
      • （2）观察奇偶性，看是否能只讨论一边
      • （3）求导，讨论在参数取不同值时的情况，可以利用零点定理
    • 类型二：证明有实根
      • (1）构造一个函数。
      • （2）证明左右异号用零点定理或拉格朗日
      • （3）当出现导数时可以尝试使用罗尔定理
    • 类型三：方程的个数
      • 同找零点
  • 题型三：微分中值定理有关的证明题
    • 类型一：F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0
      • 1.分析找到原函数
        • 2.构造原函数，寻找两个函数值相同的点。
        • 3.求导
      • 2.微分方程法。
    • 类型二：两个中值点问题，使F[ξ,η，f(ξ),f(η),f'(η）,f'(ξ）】=0
      • 1.不要求一样时用两次中值定理一次柯西
        • 1.将两个中值点分离，观察分别构建原函数然后拉格朗日和柯西，使使用后相等
      • 2.一样时用两次拉格朗日
        • 一般第一小问给出的点作为第二问的中介点，或则用拉格朗日中值定理将已知函数的点与某一点c进行拉格朗日，然后寻找f(c)这个点。
    • 类型三：高阶导数不等式F[ξ,f^(n)(ξ)]≥0
      • 1.观察题目已知，如果给了大于二阶的导函数的不等关系，则选用泰勒，选择泰勒展开点在已知信息较多的那一点。然后将已知或者上一题的点带入，化简相减，然后根据题设条件判断不等关系。
      • 2.如果，导函数的不等关系为一阶或原函数，一般选择拉格朗日中值定理。
    • 类型四：确定函数值存在最大值或者有点大于0，一般采用在＞M的点大于0，然后在闭区间内用费马定理。
• 函数的单调性、极值最值问题
  • 函数的单调区间与极值
    • 1.求导，画出单调区间，如果有变上限的积分区间，记得讨论
    • 2.求出极值点，在定义区间则取
  • 求极值问题（用极值的充分条件判断）
    • 1.先令导数dy/dt =0，求出几个结果之后；2.再令求二阶导d2y/dx2 =0。3.在连续函数中处处可导，若极值点存在，此点导数为0。4.f^(n)#0，n为偶函数，而最值需要找导数不存在的点。
  • 凹凸性
    • 二阶导左右异号（必要性），参数方程同理，求多次导。
    • 穿针法
    • 泰勒展开为n阶，若n为奇，且n阶导不为0，且(x-x_0)为n阶，则为拐点。
• 证明函数不等式
  • 先观察左右两边是否好求导，若好求导则平移然后设F(x），再求导证明单调性或的最小值、最大值为0
  • 基本不等式夹逼
  • 用拉格朗日中值定理，尤其是题目中有一阶导的信息时，或者有两个函数相减的信息。
  • 在发现可以利用已知的泰勒展开的时候，在某一点展开，相减
  • 利用几何意义凹凸性来判断