导图社区 高数三数学
下图内容包括以下几个章节： 第一章：函数极限与连续 第二章：导数与微分 第三章：中值定理及导数的的应用 第四章：不定积分 第五章：定积分
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数三
函数、极限与连续
函数
函数的概念
分段函数
定义:函数的对应法则由几个解析式表示
绝对值函数
定义域:（-∞，+∞）
值域:【0，+∞）
表达式:y=|x|=｛x，x>0 0，x=0 -x，x<0｝
符号函数
值域:{-1，0，1}
表达式:y=sgnx｛1，x>0 0，x=0 -1，x<0｝
取整函数
值域:Z
表达式:y=[x]
反函数
函数与反函数关于y=x对称
函数与反函数单调性一致
函数与反函数的定义域与值域互换
求反函数的步骤:
由已知函数表达式y=f（x）解出x，则x=f（y）
将字母x与y互换
复合函数
定义: 设函数y=f（x）的定义域为Df，函数u=g（x）的定义域为 Dg，值域为Rg，若Df∩Rg=φ（空集），，则y=f（g（x））为函数y=f（u）与u=g（x）的符合函数。
隐函数
【定义】若x在某数集D,内每取一个值时,由方程F(x,y)=0可唯一确定一个y的值 与之对应,则称由F(x,y)=0确定一个隐函数y=f(x).
参数方程确定的函数
基本初等函数
幂函数
表达式:y=xº（º∈R是常数）
四大特性及图像
指数函数
对数函数
三角函数
三角函数值
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
y=secx
定义域:｛x|x∈R，x≠kπ+π／2，k∈Z｝
值域:（-∞,-1]∪[1，+∞）
y=cscx
定义域:｛x|x∈R，x≠kπ，k∈Z｝
反三角函数
y=arcsinx
反函数:y=sinx
y=arccosx
反函数:y=cosx
y=arctanx
反函数:y=tanx
y=arccotx
反函数:y=cotx
函数的四大特性
单调性
f（x）定义域为D,数集I在D内，行x1∈I，x2∈I
单调减少:x1＜x2，恒有f（x1）＜f（x2）
单调增加:x1＜x2，恒有f（x1）＞f（x2）
不单调:x1＜x2时，恒有f（x1）≤f（x2）(或f（x1）≥f（x2）)
奇偶性
奇函数:f（-x）=-f（x） 关于原点对称
偶函数:f（-x）=f（x） 关于y轴对称
奇函数的绝对值为奇函数
周期性
函数f（x）定义域为D存在正数T,对于任意x∈D，都有x+D=D,并且f（x+D）=f（x）恒成立。
对函数做积分运算，周期不变
f(x)为多个周期函数相加，则f(x)的周期是多个周期函数周期的最小公倍数。
运算性质
加减
奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数±偶函数=非奇非偶函数
乘除
奇函数×或／奇函数=偶函数
奇函数×或／偶函数=奇函数
有界性
充要条件:既有上界，也有下界。
常见有界函数:y=sinx，y=cosx，y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx， y=arccotx等
求函数的定义域
分母不为零
偶次方根被开方数非负，奇次方根，根号下任意实数
对数的真数部分大于零
指数、对数的底数大于零，且不等于一。
y=tanx中，x≠kπ+π／2
y=cotx中，x≠kπ。
|arcsinx|，|arccosx|≤1
分段函数求定义域取并集 初等函数定义域取是个各部分有意义的自变量范围的交集
复合函数定义域一定要使x所在函数值域在外函数的定义域内。
求函数的值域
求函数的表达式
已知f(x)求f[g(x)]，直接将f(x)中的x替换成g(x)
已知f[g(x)]求f(x)，令t=g(x)求得f(t)，再将t替换成x 或将表达式的恒等变形为以g(x)为自变量的表达式，再将g(x替换成x即可。
四则运算
D1,D2为f(x)，g(x)的定义域，D=D1∩D2≠φ
和（差）:（f±g）(x)=f(x)±g(x)，x∈D
积:（f·g）(x)=f(x)·g(x)，x∈D
商:（f／g）(x)=f(x)／g(x)，x∈D\{x|g(x)=0，x∈D}
复合运算
建立应用问题的函数关系
极限
数列极限
数列
等差数列
求和公式:（a1+a2）n／2
等比数列
求和公式:
a1（1－qn次方）/1－q ——（q≠1）
na1 ——q=1
概念
数列定义
数列极限定义
收敛
发散
性质
极限的唯一性
收敛数列的有界性
收敛数列的保号性
收敛数列保号性的推论
单调有界准则
夹逼准则
运算法则
函数极限
函数极限的唯一性
函数极限的局部有界性
函数极限的局部保号性
两个重要极限
无穷大与无穷小
无穷大
定义:若limx→□f(x)=∞，则称函数f(x)为x→□时的无穷大
无穷小
定义:若limx→□f(x)=0，则称函数f(x)为x→□时的无穷小
无穷小的基本性质
有限个无穷小的和是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
极限与无穷小的关系
无穷大与无穷小的关系
无穷小的比较
高阶无穷小
limx→□β(x)／α(x)=0
低阶无穷小
limx→□β(x)／α(x)=∞
同阶无穷小
limx→□β(x)／αk次方(x)≠0
k阶无穷小
limx→□β(x)／α(x)c（c≠0）
常用等价无穷小
sinf(x)~f(x)
tanf(x)~f(x)
arcsinf(x)~f(x)
arctanf(x)~f(x)
eº－1~f(x) [º等于f(x)]
ln[1+f(x)]~f(x)
1－cosf(x)~½f²(x)
[1+f(x)]α（方次）－1~αf(x)
tanx－sinx~½x³
loga（1+x）~x／lna
ax（次方）－1~xlna
连续
函数连续性的概念
定义
设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，则y=f(x)在点x0处连续＜＝＞lim△y=lim△x→0[f(x0+△x)－f(x)]=0 ＜＝＞lim△x→x0 f(x)=f(xo)
三个条件（需全部满足才可）
(1)f(xo)存在；
limx→x0f(x)存在；
limx→x0 f(x)=f(xo)
充要条件
函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续.
函数的间断点
条件（满足其中之一即可）
设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义
(1)在x=X0没有定义；
(2)虽在x＝x0有定义，但limx→x0 f(x)不存在；
(3)虽在x=x0有定义，且limx→x0 f(x)存在，但limx→x0 f(x)≠f(x0)
分类
第一类间断点
可去间断点
极限存在但不等于f(x0)
跳跃间断点
极限存在但不相等
第二类间断点
无穷间断点
常见:y＝tanx
震荡间断点
常见:y＝sin1／x
y＝cos1／x
初等函数的连续性
[定理1]:连续函数的四则运算
设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则f±g，f·g，f／g（g(x)≠0）都在点x0连续
[定理2]基本初等函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数
[定理3[]初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间（包含定义域内的区间）内都是连续的
闭区间上连续函数的性质
f(x)在[a，b]上有界（有界性定理）
f(x)在[a，b]上有的最大值和最小值（最值定理）
若f(a)f(b)＜0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使f(ξ)＝0（零点定理）
若f(a)＝A,f(b)＝B,且A≠B对于A到B之间的任意常数C（A＜C＜B或B＜C＜A），至少存在一点ξ∈（a，b），使得f(ξ)＝C（介值定理）
若m与M分别为f（x）在[a，b]上的最大值与最小值，m≤η≤M，至少存在一点ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝η
导数与微分
中值定理及导数的应用
不定积分
定积分
x→□时，α(x)与β(x)为两个无穷小
