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线代题型全
线代题型全，包含有行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的重点难点，大家也可以用于备考复习。
编辑于2023-10-15 22:52:14- 相似推荐
- 大纲
线代题型
行列式
行列式的计算
数字型行列式
爪形一般都是需要变成的 就是隐形爪形
别忘了有个正负号
逐行相加
爪形 首先各提了一个2 3 4
四阶五阶 三条对角线 法一目的变成上三角 第一行负四分之一倍往下加 第二行负的倍往下加 第二种方法 目的把第一行变成0
n阶 高阶不适合那个四阶五阶的方法 这个适合用数学归纳法： 命题依然成立 这就是第一数学归纳法 还有第二数学归纳法 用一 用二 此题使用第二归纳法 想办法证明 又可以展开 又按照归纳假设带入得到 证出来了 则对所有n，命题正确
法2 求常数项的巧妙方法
抽象型行列式
方阵的行列式 法则公式 证明 然后都拆了 得到 三阶三个特征值就可以得到|A|= 特征值的和就是矩阵的迹 7 相似定义 P为可逆矩阵
|A+B|型计算
相似，|A|=
这样的已知条件 藏着相似 写成分块矩阵很关键 1x3写成3x1x3x3 所以行列式不等于0 即P为可逆矩阵 即 A与B相似 法二 用行列式性质 用倍加性质 又因为线性无关所以行列式不等于0 可以约分
提醒了三个A的特征值 三个特征值出来了 再求A+E的特征值
行列式的应用
1 特征多项式
找能消掉并且可以提的 也可以使用行和相等
2 克拉默法则
Dn就是把第n列换成b列 推论 每一个方程组都有零解 唯一解
1 可能跟齐次方程组的解挂钩 给B做分块矩阵处理 0也可以做分块矩阵处理 所以必存在不为0的即 齐次方程组有非零解 系数矩阵行列式要等于0
a
3 矩阵秩的概念
非0子式为不等零的行列式 不得零的行列式 最高是r阶的 即
一大一小证明秩=2
关于lAl=0的判断
A不等于0 可逆
AB=0 B的列向量为AX=0的解 且因为B不等于0 则B不是0向量 B的列向量中一定有非零向量即为非零解 一下子讲不清楚 错误解法 这里不确定是否相等
列满秩即rA=n 显然， 2的解是1的解 证明 BX=0为什么一定有非零解 因为所以未知数个数大于行数 所以rB严格小于m 即rB严格小于未知数m 则存在非零解 则|B|=0 所以存在非零解
代数余子式求和
证明2 证明伴随矩阵AA*=|A|E
2 原来行列式等不等无所谓 因为代数余子式没变 所以通过代数余子式来变换行列式
伴随矩阵第一行的和 答案为3/2 =3
求伴随特征值
矩阵
矩阵运算
一般就想着齐次方程解的问题 不能约分 对角矩阵可以交换 对角矩阵的逆矩阵
特殊矩阵
别忘了带有正负号 证明
证明过程在左边
又因为a11是正数 所以
13年的题 就改了个正负号
逆矩阵唯一 从此之后就可以不用用上面的证明了 证明2.4
注意没有分配律 因为对称 因为可逆
用行列式不等于0证明 从条件入手 有分配律没有结合律 这里也可以交换 所以行列式不等于0 所以可逆 反证法
正交矩阵行列式要么1要么-1 几何意义？ 首先先熟悉n维向量的定义 内积符号 两个向量的内积 则内积得0 然后跟特征向量有关 大于等于0 所以来看正交矩阵几何意义 九个式子 平方和为1及向量长度为1（开根号） 列向量a b c互相垂直 为值为直角坐标系 错误正交矩阵 列向量不是单位矩阵 应该做单位化 2，3列内积不为0 应该做史密斯正交法 同上面
正交矩阵行列式得平方=1
A为正交矩阵 即A可逆 即A行列式不为零 即非齐次线性方程存在唯一解 A为正交矩阵 则每个行向量都为单位向量即平方和为0 每个列向量也都为单位向量即平方和为0 齐次方程有唯一解且解为只为零解 所以唯一解
行最简矩阵
行阶梯矩阵
这个不是 零行不在最下面 这个也不是 7下面不是0 这个是
行最简矩阵
首先得是行阶梯 不是 因为所在列有非零数2 不是 主元不是1 这个是 这个也是
初等变换，初等矩阵
左行右列 一共三种类型 1倍加初等矩阵的逆矩阵就是倍数改为相反数 2两行互换的初等矩阵的逆矩阵就是他自己 3 对角矩阵取倒数
迹就是特征值的和
分块矩阵
100次方 求逆 按列分块γ123用α123线性表出 按行分块 α由β线性表出 则α的秩小于α的秩 B矩阵按列分块 方程组的解 解三个方程组
第二种
互相线性表出为等价
矩阵秩的计算
矩阵方程
n维向量
线性相关、无关
、 有零向量一定线性相关 线性相关S是未知数 只有零解线性无关 n+1个未知数 n个方程 这样的方程组必有非零解 两个向量线性无关 两个向量线性相关 三个向量线性相关 三个向量线性无关 两个向量成比例他俩就相关 都成立 但是要是还有个任意不为0的k使之成立则相关 之后一组0 则无关 即仅仅只有0一种情况则无关 就这两种方法
即齐次方程组要有非零解 跟行向量列向量无关这个n是未知数个数
定义 用秩 线性无关所以等于3
同理可证
再反代得出k2 k1=0
并写出和A相似的矩阵
这个交代很重要 证明相似
A肯定相关 B是 四个向量由三个向量线性表出 这四个向量一定相关 C直接算行列式 要是=0就是可逆
线性表出
有一个不能表出则向量组就不能被表出 A可以通过初等变换变成B （三种） 秩相等的同型矩阵一定等价，因为它们的等价标准形相同。不同型的矩阵不可能等价。 某一个
解方程组加减消元只能行变换
1用秩做 2用概念做 解三个方程组 得同时有解才能表出 然后拼一块 再独立研究 有解 所以讨论方程组只需要抓住这个位置是否是0来判断是否有解 故 、这个取并集
1 用几何模型 一个线性小组无关 子集和无关 一个线性小组相关 加向量也相关 则
1用秩证 2用概念 这个条件很难描述 但是有第一句话 反证法
向量组的秩
秩为2 行列式不等于零 这三个线性无关 本身就是极大无关组 秩为三
列满秩 爪形 跟对角线没关 看第二列第三列数是不是一样 然后第一行负一倍下来
所以r小于等于s
矩阵秩的证明
n是未知数个数 证明无所谓
证明 利用上面的结论
线性方程组
基础解系，n-r（A)
有非零解就有无穷多个解 而这无穷多解的线性无关的解向量的个数为 第三条其实就是极大无关组 满足这三条就是基础解系 验证 化行最简 n是未知数 先写1，0 ，0，1 再找出x3 x5 按照系数写相反数按顺序填 但有些题不一定非要化行最简
不看对角线 行都一样 就是爪形 求解 求n-1个解 n-1个自由变量 这就是基础解系 代表无穷多解
只有零解就没有基础解系 看到这样的题想起公式n-Ra=线性无关解向量个数 即极大无关组的向量个数 遇到秩的问题 两个条件 所以
解方程组Ax=b，解的结构
1 解方程组 会处理参数
不等于0 可以除 第二问
用解的结构、解的性质处理抽象的方程组
有些题通过矩阵运算构造出方程组再求解
、
、
有解判定、解的结构、性质
公共解、同解
公共解的问题
、 基础解系 1 2 新的齐次方程组 求出来的结果 x1x2x3带入1 y1y2带入2
γ-γ 存在非零解
方程组的应用
特征值与特征向量
特征值、特征向量
定义法 基础解系 重点 齐次方程有非零解就有无穷多解 秩为1 所以不能先做初等变换哦 这个的迹是他的内积 秩为1 所以可以使用那个公式 这个是他的迹 前面是条件 没说证明可以直接用 个别证明 例 r
数字型矩阵
这里秩必为2 所以最后一行可以直接变成0 线性无关的特征向量别忘了是无数个 可以由这里直接求解 再求-3
抽象矩阵
第二 用相似 B A的特征值就是B的特征值 已知B的特征值 求A的特征向量
相似、相似对角化
相似的传递性 注意对应 P的列向量不是 n为A的阶数 就是n-ra移项了 因此不能
所以不能相似对角化 对称矩阵一定对角相似
实对称矩阵可以相似对角化A=AT
相似时的可逆矩阵P
可逆矩阵p就是特征向量
求参数的问题
首要是第四条 但是巧合
用相似求A的n次方
反求矩阵A
三个特征值三个特征向量则可以相似对角化
实对称矩阵
⭐ 不要带入分母 只算整数部分
特殊的
重根特征向量要史密斯交换 行列式等于特征值乘积
可逆 行列式不得零 任两个线性无关不成比例 但第三个一定线性相关 因为B的行列式=0 秩小于3 秩小于3 A的行列式为0 所以A第三个特征值为0
二次型
二次型基本概念
二次型的标准型、规范形
配方法化二次型
正交变换法化标准形
经过坐标变换AB合同 而这个是正交变换 所以不仅这个成立而且那个也成立
特征值的和就是矩阵的迹
规范形
求表达式要求三个特征值三个特征向量 特征向量不得零 A是二次型矩阵 所以一定是实对称 实对称A与对角矩阵相似 特征值相同 秩相同 实对称矩阵特征值不同的特征向量之间互相正交 这个二次型在正交变换下标准型的二次项系数是所以说二次型矩阵给了特征值 一定想到正交变换后的标准型二次项系数就是特征值 给规范性就是由正负惯性指数来判定标准型的二次项系数的正负也就是二次型矩阵特征值的正负
二次型的正定性
潜台词对称矩阵 1平方项系数必须严格大于0 等于0都不行 这个肯定不正定 2 顺序主子式就是一阶顺序主子式二阶顺序主子式三阶顺序主子式 注意子式是行列式 3
矩阵的等价、相似、合同
经过坐标变换 矩阵合同 要求是X=CY 这就是标准型 若只剩下两项 记得是0倍X3 这是化成规范型 先排序 一个正两个负 大的正小的负 正交变换法 先把二次型转化为标准型 Q矩阵就是A矩阵的三个特征向量 区别在已知A矩阵 下面是已知二次型 同一个对角相似 1 秩相等 或者A可以通过初等变换变成B所以等价 2 特征值不相同 行列式不相等 迹的和不相同 所以不等价 3 首先都是实对称矩阵 通过正负惯性指数合同 合同不一定相似
1.A和B均为mxn矩阵，即同型矩阵
2.A和B均为n阶矩阵
3.A和B均为n阶实对称矩阵
不相似 因为迹不相同 但是合同 将A的特征值求出来 求出来的特征值就是A经过正交变换后得到的标准型的二次项系数 可知正惯性指数为2 负惯性指数为0
是否相似
所以A不可能对角相似 而B对角相似 所以A与B不相似 相似的4个必要条件全满足但是不相似 因为不能共同对角相似