导图社区 线性代数
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线性代数
行列式
概念
行列式|A|，余子式M，代数余子式A
具体型计算
基本公式
展开公式
对角线，上(下)三角
分块行列式
由拉普拉斯定理可证明以下结论： 设A，B分别为m与n阶矩阵，则 
主、副对角
范德蒙行列式
最高次项次数为n-1 典型形式 
特征多项式的行列式
特征值之和等于迹 特征值之积等于行列式
初等变换
包含行变换、列变换 某行k倍加至另一行 每一行都加到第一行 逐行相加 某行/列乘以k倍行列式会改变
常见处理
爪形/隐形爪形
利用主对角线元素，化为上(下)三角 
三对角形
递推法 逐行相加，化为上下三角
行(列)元素之和相等
各行(列)加到第一行(列)，提取公因子再化简
除主对角外，各行或列成比例
加边法化为爪形 将行列式添加一行或一列，使其升阶后的行列式的值不变，这种方法称为“加边法”
拆分
根据行列式的性质，如果行列式中某行（列）各元素分别为两数之和，则原行列式可以“拆成”两个行列式
抽象型计算
消掉A* 
行列式性质
行列式拆分 行列式交换两行
E恒等变形
特征值/相似
相似矩阵各加kE仍相似
列向量型
拆分 列互换(注意±变化)
克拉默法则
非齐次线性方程组
系数行列式不为零有唯一解
齐次线性方程组
应用
行列式计算/证明
归纳法 递推法
证明 |A|=0
r(A)＜n 0是A的特征值 AX=0有非零解 反证法 |A|=-|A|
伴随矩阵求逆
线性无关(相关)判定
可逆的证明
特征值计算
二次型正定判定
矩阵
基础
概念：矩阵；零矩阵；相等
运算：加减法；数乘；乘积
矩阵乘法没有交换律、消去律
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换称为初等矩阵 初等矩阵经有限次初等变换后与原矩阵等价 A左乘初等矩阵和右乘初等矩阵的意义 这两个矩阵B=QAP（P、Q可逆），那么这两个矩阵等价
行阶梯矩阵
行最简矩阵
主元为1且所在列其他元素为0
逆矩阵
可逆即非奇异 可通过初等变换化为单位矩阵
初等矩阵的逆
单位矩阵初等变换后的逆： 倍加 倍数变相反数 互换 逆等于原矩阵 倍数 乘倍数的倒数
初等行变换求逆
用伴随矩阵求逆
分块矩阵的逆
主对角型块加逆 副对角型对调块加逆
特殊矩阵
单位矩阵，转置矩阵
伴随矩阵
二阶矩阵的伴随：主对角互换，副对角变号 注意求伴随矩阵时各元素的位置
对称矩阵，反对称矩阵
对称矩阵： 以主对角线为对称轴，各元素对应相等 转置等于自身 aij=aji 反对称矩阵： 主对角元素全为零，位于主对角线两侧对称的元反号，AT=-A 特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交 aij=-aji
正交矩阵
转置等于逆 |A|²=1 证明是正交矩阵：ATA=E
对角矩阵
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必相似于对角矩阵
秩
定义与常用说法
非0子式的最高阶数 初等变换秩不变 秩为1的矩阵一个特征值为迹，其它为0 r(A)=r：A中至少有r阶子式不为零，且任意r阶以上的子式全为零（假设有）； r(A)≤r：A中任意r阶以上的子式全为零； r(A)≥r：A中至少有一个r阶子式不为零。 等价说法： 方程组的无关解向量个数 相似对角阵的非零特征值个数
常用结论
伴随矩阵A*的秩 若A可逆，则r(AB)=r(BA)=r(B) A~B，r(A)=r(B)，r(A+kE)=r(B+kE) 
分块矩阵运算
加，乘，转置，n次方，行列式，逆
分块矩阵的转置：主对角直接转置，副对角对调再转置 分块矩阵的逆：主对角型分别取逆，副对角型对调取逆
公式
转置

可逆
A逆，kA，AB，Aⁿ，A逆的转置，A逆的行列式
伴随
AA*=A*A，|A*|，A*的转置，(kA)*，(A*)*，r(A*)
题型
Aⁿ
r(A)=1⇔A=α*βT
Aⁿ=k^(n-1)·A，k=trA
二阶/三阶右上角
A~B
求相似对角阵的n次方，再逆变换
拆分矩阵
二项式展开
叉形矩阵
通常利用周期性
证可逆
|A|≠0 r(A)=n 特征值 反证法
求逆
定义法 初等行变换 公式、伴随矩阵：A*/|A| 分块矩阵 抽象矩阵：恒等变形，因式分解，长除法 初等矩阵的逆
求A*
AA*= 定义法 关于秩的结论
求矩阵
AX=B，A可逆，求逆相乘
AX=B，A不可逆，解方程组
Aα=λα，已知A特征值特征向量求A
Tips
隐藏特征值特征向量
矩阵各行元素和均为a
Ax=0有非零解α
二次型A在正交变换下的标准形系数即A的特征值
Aⁿ±kE不可逆，|A±kE|=0
特征值
考虑到行不成比例，且|λE-A|=0,故r(λE-A)<n,初等行变换后至少有一行元素全为0，所以可以将其中任意一行写成（0,0,...0)，放到最后一行 A²=A，则A的特征值只能为0或1
等价
矩阵等价⇎向量组等价
矩阵等价⇔秩相同
Ax=0
β≠0是Ax=0的解⇔β与A的行向量正交，βTα=0
α是Ax=β的解→β可由A的列向量组线性表示
*、-1、T 可交换
AT=kA*
平面位置与向量组的联系
平面的位置关系本质是法向量的位置关系  
平面直线与向量组
A、B非零，AB=0
Ax=0有非零解 (AB)T=0有非零解
二次型
f(x)=xTAx，A是实对称
A若不是实对称则先化为实对称，B=(AT+A)/2
标准型
惯性指数与惯性定理
惯性定理：二次型 f 经可逆线性变换，其正、负惯性指数不变，其秩也不变 可通过标准型或规范形或特征值得到
合同
x=Py称为合同变换
CTAC=B，C可逆
矩阵A合同于矩阵B，其中一个是实对称则另一个也是实对称 n阶实对称矩阵合同⇔A、B正负惯性指数相同
化标准型
配方法
C为可逆矩阵，则称x=Cy为可逆线性变换 可逆线性变换：若二次型不含平方项，先可逆线性变换，用yi表示xi，再配方法 配方法系数和特征值无关
正交变换x=Qy
C为正交矩阵，则称x=Cy为正交变换，正交矩阵Q转置等于逆 只有用正交变换化二次型为标准形时，标准形平方项的系数才是A的特征值 利用正交变换将二次型f=XTAX化为标准形的步骤： 求A的特征值、特征向量 将重特征值对应的特征向量施密特正交单位化 正交单位化的向量构成正交矩阵为Q，正交变换为x=Qy 写出标准形λ₁y₁²+λ₂y₂²···
规范型
正定
任意x≠0，都有xTAx＞0
必要条件
aii＞0 |A|＞0
充要条件
A的特征值全大于0 顺序主子式全大于0 A=CTEC，C可逆 任意x≠0，都有xTAx>0，仅当x=0时，f(x)=0
⇔A是实对称，A正定
A合同于单位阵E
正惯性指数p=n=r(A)
存在可逆阵P，使得A=PTP
证明正定
先证对称，再证正定
二次型的标准形和规范形
二次型正定及正负惯性指数
相似矩阵
特征值与特征向量
定义与性质
A(α₁，α₂)=(λ₁α₁，λ₂α₂) 证明α是特征向量，要证明α不为0 性质： 不同特征值的特征向量无关 k重特征值对应k个无关特征向量 行列式与特征值
运算后的特征值
相似定义与性质
AP=PB，P可逆，则A~B 性质即必要条件：秩，行列式，特征值，迹
可对角化
充分条件
n个不同特征值； 实对称矩阵
n个无关特征向量； k重特征值有k个无关特征向量
实对称矩阵
相似必合同
性质
必相似于对角阵 只有实对称可用正交矩阵对角化，因为不同特征值的特征向量正交 不同特征值的特征向量必正交 特征值必为实数 k重特征值必有k个无关特征向量
3阶方阵，已知单重特征值的特征向量，可以设二重特征值的特征向量，根据特征向量正交性质解方程组得特征向量 A为3阶方阵，若|λE-A|=0的展开式只有一个实数解λ₁，其他解为复数，则λ₁为三重特征值 二次型A在正交变换下的标准形系数即A的特征值 关于正定
相似判断/证明
必要条件（选择题用必要条件通常判断不了） 相似于同一对角阵Λ，不能对角化的用对应特征向量个数判断 实对称必相似于Λ
确定参数
由特征值特征向量求矩阵
求相似正交矩阵
求特征值α 特征向量正交化ξ，单位化β Q=（βi）
方程组
只能行变换
矩阵形式
齐次：Ax=0
有非0解的充要条件是r(A)＜n
非齐次：Ax=b
有解判定：r(A)=r(A|b)
解的结构
齐次
零解，非零解
非齐次
无解，唯一解，无穷解 （A，b）
解向量个数
自由变量个数、无关解向量个数：n-r(A)，n为A的列数 自由变量的位置
含参数线性方程组
若矩阵A是n阶方阵，讨论Ax=b可先用行列式讨论参数： |A|≠0时 |A|=0时，确定参数辅以初等行变换判断是否有解 若Amn（m≠n），对增广矩阵（A|b）进行初等行变换化为阶梯形，讨论参数，确定其秩
抽象线性方程组
线性方程组Ax=b中，A与b没有具体给定，称为抽象线性方程组，首先要讨论秩 解决抽象线性方程组问题的常用方法： 常用齐次线性方程组及非齐次线性方程组解的性质与结构进行讨论 矩阵的秩 解决抽象线性方程组问题中，常用到的隐含条件：若题目中给出已知线性方程组Ax=b的通解，则相当于有3个隐藏条件： 可知r(A)的值 向量b的一个线性表示 矩阵A的列向量组的一个线性组合为零
两个方程组公共解、同解
公共解： 方程组均已知：联立方程组求解 方程组未知，基础解系已知：设公共解γ，γ可分别由两个方程组的基础解系线性表示，构建新的方程组 同解：系数矩阵的秩相同，解交换代入
向量组
运算
加，数乘，内积，正交化
线性表示
判定
定义法，秩
向量组等价
可互相线性表示
AB的行向量可由B的行向量线性表示 AB的列向量可由A的列向量线性表示 秩高的可以表示秩低的
线性相关
两向量相关坐标成比例 存在不全为零的k1.。。。
[ ]x=0有非零解 秩 线性表示 n个n维向量相关，行列式为0
列数大于行数 多数能用少数表示 部分、整体
线性无关
出现αi无关，又有Aα，隐含相似，A(α1，α2，α3)=（α，α，α）[B]
[ ]x=0只有零解 秩 不能线性表示
极大无关组
向量组的秩
向量张成的空间的维度
施密特正交化
向量α₁、α₂正交化，本质为α₂减去与α₁不正交的分量
向量空间
向量空间，子空间
全体n维向量连同向量的加法和数乘运算合称为n维向量空间
基，维数
基：线性无关 基中所含无关向量的个数称为向量空间的维数
坐标，过渡矩阵
[βi]、[αi]是n维空间的两组基，若[βi]=[αi]C，称C是由α到β的过渡矩阵 若[αi]是规范正交基，且有[βi]=[αi]C，则[βi]是规范正交基的充要条件是C为正交矩阵
坐标公式
向量在基[αi]的坐标为[x]，在[β]的坐标为[y]，则坐标变换公式为x=Cy α在基[αi]的坐标为[x]，记A=[αi]，则[x]=A-1·α
规范正交基，解空间
规范正交基：是单位向量且彼此正交的基
证明向量组等价
具体：证方程组AX=B、BX=A有解 抽象：化为矩阵形式，由A=BC得出A(C逆)=B；抽取A、B的极大无关组构成新向量组
求线性表示
化为行最简
证无关/相关
定义，行列式，秩
求极大无关组
化为行阶梯
