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高等数学思维导图
根据2020新版数学一考纲制作，包括知识点、公式、常见题型。
编辑于2021-01-11 13:05:28
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高等数学 数学一 v2.0
函数 极限 连续
函数
研究对象
函数，反函数，复合函数，初等函数
特殊函数
取整函数 y=[x] 符号函数 sgn x 狄利克雷函数 D(x) D(x)常用于举反例： 某处可导不能推出在该点邻域内连续， f(x)=x²·D(x) f(x)在[a，b]上有界不能推出f(x)在[a，b]可积， f(x)=D(x)
性态
奇偶性
f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和 关于直线、点对称的结论，奇偶性的平移 复合函数：奇(奇)为奇，其它为偶
性质：函数值、图形、积分
判定：定义、导数、变限积分
连续的奇函数其原函数都是偶函数（偶函数+C→偶函数） 连续的偶函数其原函数中有唯一一个是奇函数（奇函数+C?=奇函数）
有界性
常见有界函数
可用于不等式缩放
判定：定义、连续、导数
利用定义，存在M≥0，|f(x)|≤M f(x)在[a，b]上连续→f(x)在[a，b]上有界 f(x)在(a，b)上连续，且f(a+)和f(b-)存在→f(x)在(a，b)上有界。a、b可以是±∞ f'(x)在有限区间（a，b）上有界，则 f(x)在（a，b）上有界（即导数有界→原函数有界），可用拉格朗日中值定理证明，反之不一定 已知函数连续证明其积分有界
周期性
判定：定义、可导
利用定义； 可导的周期函数其导函数为周期函数； 周期函数的原函数不一定是周期函数，如f(x)=1+cosx 设f(x)连续且以T为周期，则f(x)的变上限积分以T为周期，一个周期积分为0 周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零
单调性
判定：定义、导数
复合函数单调性
对称性
线对称：概率密度，一元积分 点、面对称：多元积分，通过对称消去部分，或凑项简化计算
线对称，点对称，面对称
点、线对称的函数表示 若y=f(x)关于直线x=a(a≠0)对称, 则 f(x)=f(2a-x); 若y=f(x)关于点(a, 0)对称(a≠0), 则f(x)=-f(2a-x) ，f(a+x)=-f(a-x)
题型
复合函数运算
代入法
函数性态
复合函数奇偶性 积分函数奇偶性 结合一元微分 带三角函数的函数的有界性可取x=2kπ之类的值
极限
研究工具 函数在一点的极限只和该点去心邻域有关，与该点是否有定义无关
极限定义：函数极限，数列极限
函数极限：ε~δ，ε~X 数列极限：ε~N ε有任意性∀，δ、X、N有存在性∃ 定义证明极限存在性，关键在于证δ、X、N的存在性
性质
唯一性，局部有界，保号性，保序性
有界性：某点极限存在，则函数在该点去心邻域内有界 保号性：应用于去心邻域，注意函数在邻域的单调性，关联导数定义
存在准则
夹逼准则
适用：n项和，无法变量连续化 常用：a^(1/n)=1，a＞0；n^(1/n)=1
单调有界
证单调
作差法，作商法 求导数（导数＞0才有单调性） 归纳法
证有界
数学归纳法 拉格朗日中值定理（导数有界原函数必有界） 常用不等式：a²+b²≥2ab；sinx＜x，㏑(1+x)＜x，e^x-1＞x，x＞0。
无穷小
概念，运算，阶数
有界与无穷小之积 有限个无穷小之和 有限个无穷小之积
极限与无穷小
lim f(x)=A ⇔ f(x)=A+α(x)，其中lim α(x)=0
无穷大
概念，无穷大与无界
无穷大分为正无穷大和负无穷大 无穷大要求恒大于，无界只要求存在。故无穷大必无界，反之未必 常见无穷大：㏑ n，n^a，aⁿ，n!，nⁿ 无界常用举例：an={0，1，0，2，···0，n}
洛必达法则
两个条件： 分子分母的极限都为零(或无穷大)； 分子分母在x0点去心邻域（不是x0点）内分别可导 若使用后极限不存在，则洛必达不适用，应换方法
一点n阶可导，仅能用到(n-1)阶
一点n阶可导，只能推出该点n阶导函数存在且连续 n阶导函数在该点去心邻域未必连续，因此在去心邻域内未必n阶可导（参见导数定义） 例如分段函数：f(x)={ x²/sin（1/x），x≠0；0，x=0} 导数定义求极限时注意
题型
概念性质存在准则
函数极限是x→a，但x≠a 极限存在问题常用特殊举例：sin(1/x)，sin x/x，sin nπ 注意lim x=0，x可以是恒等于零，或者是无穷小 注意特殊情况下的数列函数复合极限存在性问题
无穷小的阶数
积分形式阶数：（被积分函数阶数+1）*积分限阶数 阶数排序：相除取极限 通常为x→0或x→∞的极限，也有x→a型的极限 根据函数奇偶性得阶数的奇偶性(泰勒展开只有奇次项或偶次项)
已知极限确定参数或求另一极限
泰勒展开 常见无穷小替换
求极限
函数极限
重点：0/0，1^∞，∞-∞ 非零因子的极限可先求，乘、除的无穷小可直接替换 加减运算时有条件地用等价无穷小替换 洛必达：n阶可导只能用到（n-1）阶 两项趋向不同时，注意分开计算的可行性 需要分左右极限求极限的情况： 分段函数的分界点 e^∞型，分±∞ arctan ∞型 处理方法： 有理运算：通分、有理化（根式），提取公因式（∞-∞ 指数函数 幂函数），拆项凑项 等价无穷小，泰勒展开(所有低次项函数都展开到已有的最高次) 洛必达法则，变上限积分的极限 存在准则：夹逼准则，单调有界 拉格朗日中值定理，积分中值定理 积式：取对数化为n项和，上下同乘以某函数化简 可结合二重积分考察，用积分换元、交换积分次序处理
数列极限
数列极限→（海涅定理）→函数极限 夹逼准则，单调有界准则 定积分定义，当变化部分的最大值与主体相比是次量级用夹逼，与主体相比是同量级用定积分 结论：(aⁿ+bⁿ+cⁿ)^(1/n)=max{a,b,c}，n^(1/n)，a^(1/n)
n项和，n项积
和式：夹逼，定积分/缩放用定积分，级数 积式：夹逼，取对数化为n项和，上下同乘以某函数 预处理： 缩放 拆项，阶乘和式常用拆项相消 根式有理化
递推关系式表示的数列
常规关系式可化为函数式求导数：导数＞0，有单调性；导数＜0，无单调性 有单调性：通常先证明单调有界 无单调性：设极限存在再证明，| Xn -A | ≤ k | X(n-1) - A |，k∈(0，1) 复杂的递推关系式需要另找关联，比如可整理成类似于下式：   
积分表示的数列
①直接计算；②根据提示；③放缩不好算的因子 通常大题以三角函数n次方/周期奇偶函数的积分形式出现，关键在于变量代换和换元，令x=上限+下限-u
连续
定义
左右极限等于函数值 连续=左连续+右连续
闭区间连续函数性质
有界，最值，介值，零点
间断
某点去心邻域有定义但不连续
第一类：可去，跳跃
第二类：极限为无穷或不存在
无穷间断点：1/x 振荡间断点：sin(1/x)
题型
性质证明与应用
讨论有界性：找间断点，求各项极限，判断
讨论连续和间断
含三角函数的函数讨论间断点考虑三角函数周期性和0点 xⁿ 型讨论连续性、间断点先分区间化简 间断点个数问题：先列出所有无定义点，例如㏑x、分母的|x-a|，再找eⁿ、sinx等 结论：(aⁿ+bⁿ+cⁿ)^(1/n)=max{a,b,c}，n^(1/n)=1，a^(1/n)=1
一元微分
概念
导数；几何意义；可导
f(x)在x0点的某个邻域内有定义 可导充要条件：左右导数存在且相等 f'(x)=( f(x+Δx)-f(x) )/Δx Δx以任意方式趋近于0，可正可负；求某点的导数，则f(x+Δx)为动点，f(x)为定点
微分；导数与微分
Δy=A·Δx+o(Δx)，A=dy/dx dy=f'(x)·dx
可导性常用结论

求导
初等函数
复合函数
仅当内外函数导数存在复合函数导数一定存在其它情况不确定 复杂复合函数：化为指数函数求导，取对数化简求导
隐函数
整体求导，带入特殊点
参数方程
二阶导
反函数
一阶导，二阶导 f(x)g(y)=1 可利用反函数求反三角函数的导数
极坐标方程
化为参数方程
高阶导数
归纳，定义 公式：sin，cos (uv)^(n)型，莱布尼兹公式 泰勒公式或幂级数，注意xⁿ的n 
中值定理
建立导数与函数的联系
罗尔定理
条件：闭区间连续，开区间可导，端点值相等 应用：讨论方程实根的个数，证明存在导数为0的点 n阶导数不为零，方程最多有n个实根
拉格朗日中值定理
条件：闭区间连续，开区间可导 参数形式：f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)]·(b-a)，利用参数形式求 lim θ(x) 函数形式：f(x)=f(a)+f'(ξ)·(x-a) 应用：不同函数同一区间，同一函数不同区间
柯西中值定理
条件：闭区间连续，开区间可导，分母上的导数≠0（要标注）
向下为推广 向上为特例
泰勒公式
1. 本质（相同点） 1) 用多项式逼近函数； 2) 用已知点信息表示未知点； 3) 建立函数与高阶导数的关系。 2. 不同点 1）条件不同 皮亚诺型余项：x0点有n阶导 拉格朗日型余项：含有x0点的开区间(a，b)内有n+1阶导 2）余项不同 皮亚诺型余项： 定性，局部 拉格朗日型余项：定量，整体 【注】 通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）； 而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）。 展开方式： 改f(x)为f(u)，将f(u)在x点展开，带入特定值，做差得到新的式子 f(x±h)在x点展开 在两端点展开 f(λx)在0点展开
皮亚诺型余项
极限，极值，局部（一点）
拉格朗日型余项
最值，不等式，整体（区间）
应用
极值与最值
最值需要考虑端点
极值必要条件
驻点/不可导点
极值充分条件
若x0点首个不为零的高阶导数的阶数为n： n为偶数x0点是极值点 n为奇数x0点是拐点 根据泰勒公式，f(x)=f(a)+……，带入各阶导数值，得 f(x)-f(a)=
切线；法线；相关变化率；渐近线
法线与切线的斜率之积为-1 渐近线：找间断点、端点（±∞），求极限；注意偶函数的斜渐近线有就是两条，注意e^x 斜渐近线极限求参数，常见有加减项、提取公因式、根式有理化 变化率问题：根据体积流量等关系列出等式，两边对t或其它变量求导，带入已知条件
凹向与拐点
凹凸定义与判定
拐点定义与判定
凹凸性发生改变的点（必要条件：二阶导为0或不存在） 定义表达式 二阶导不存在但两侧二阶导变号的点是拐点 高次函数拐点数
曲线曲率K，曲率半径1/K
直角坐标 参数方程 圆的曲率半径即圆的半径 
概要
导数应用
导数定义
导数定义 极限与无穷小
用导数定义求极限
注意洛必达法则的使用范围，受限时用导数定义法
用导数定义求导
分段函数、绝对值函数 抽象函数 不能直接求导的函数（导函数某点没有定义，如函数含有sin(1/x)） 函数为连乘积形式 导数定义求定点导数，则( f(x+Δx)-f(x) )/Δx式中分子的相减是动点和定点之差，Δx必须可正可负
极值最值；切线；法线；相关变化率；渐近线
函数不等式
常见不等式： sinx＜x＜tanx，（0,π/2） x/(1+x)＜㏑(1+x)＜x，（x＞0） 2ab≤a²+b²，（a＞0,b＞0）
利用几何
单调性，凹凸性，切线、弦 凹函数弦上切下，凸函数切上弦下
最值介值定理
构造辅助函数、中值定理
同一函数的不同点，分区间使用
泰勒公式
讨论方程实根
存在性
零点定理、罗尔定理 多项式的重根也是它的导数函数的根，且作为导数根的重数少1
根个数
单调性、罗尔定理推论 罗尔定理推论：n阶导数不为零，方程最多有n个实根，可用反证法证明 奇偶函数的零点关于原点对称 含参方程：排除特殊点，分离参数化为函数图形相交问题，注意是否有水平渐近线 泰勒拉格朗日余项
中值定理有关证明
构造辅助函数
分析还原、微分方程 做差，端点不相等时构建函数做差使用罗尔定理 加减项，例如欲证等式只有原函数和二阶导，添加一阶导的项构造辅助函数 辅助函数小结论： 
单中值
存在点ξ∈(a，b)，使F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0
双中值
存在两个中值点ξ，η∈(a，b)，使F[ξ,η,f(ξ),f'(ξ),f(η),f'(η)]=0
不要求ξ≠η
同区间两次拉格朗日 混合的式子需要分离出两个函数
要求ξ≠η
分两区间拉格朗日； 通常点位：函数值有关的点（第一小问即提示），区间中点 区间分点c待定时逆推法证明c存在
高阶导
拉格朗日余项泰勒公式
提取信息，选提供函数值和导数值信息最多的点（优先导数值点）进行泰勒展开 将端点/中点带入展开式 介值定理、最值定理证明不等式
构造多项式法
构建多项式P使之符合各点条件 令F=f-P，带点，连续用罗尔定理
常数K值法
一元积分
不定积分
函数
概念：原函数；不定积分；性质
原函数存在性
连续必有； 有第一类间断点必无； 若函数连续（比如分段函数）或者函数的间断是由无定义点、振荡间断点导致的，那么这个函数可能有原函数
积分法
第一换元法（凑微分法）
上下同除/乘一项，凑微分
第二换元法
三角函数代换，两种根式 常用于去根号 注意积分限
分部积分
表格积分法 多项式*指数函数，多项式*sin/cos 指数函数*sin/cos 多项式*对数函数，多项式*arctan/arcsin
常见可积函数
有理函数
部分分式法 特殊处理：加减项，拆项，凑微分降幂，倒代换
三角有理式
万能代换

变形，换元，分部
R(-sinx，cosx)=-R(sinx，cosx) 令t=cosx R(sinx，-cosx)=-R(sinx，cosx) 令t=sinx R(-sinx，-cosx)=R(sinx，cosx) 令t=tanx 含π/4的三角函数通常用倍角公式处理
简单无理函数
变量代换
不可积积分
高等数学范围不可积 e^x²，sinx/x，cosx/x 重积分遇到不可积积分通常需要交换积分次序
定积分
定义，几何意义
定积分即和式的极限 积分式⇌和式
可积性
必要条件：有界
f(x)有原函数不一定可积 可积不一定有原函数
充分条件
[a,b]连续 [a,b]有界，有限个间断点 [a,b]有限个第一类间断点 [a,b]上单调有界
性质
不等式性质
f(x)≤g(x)，∫f(x)≤∫g(x) [a,b]连续，m(b-a)≤积分≤M(b-a) |∫f(x)|≤∫|f(x)| 柯西积分不等式
积分中值定理
常用于： 积分不等式 上下限无穷但相差为常数的积分 推广的积分中值定理，∫F*G dx 条件：F(x)闭区间连续，留下积分的G(x)闭区间可积且不变号 注意：若ξ是x的函数，ξ(x)，则 F(ξ)（F'(ξ)、F''(ξ)）不一定连续，不可使用积分中值定理 二重积分的中值定理：配合极限出题 ∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)·S
奇偶性、周期性、几何
计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分
换元法
注意积分限
常用公式
  
几何应用
平面图形面积
直角坐标，极坐标 参数方程：写出直角坐标面积表达式，将参数方程带入，注意积分限 可用二重积分算平面图形面积 求面积注意函数的正负
曲线弧长
直角坐标，参数方程，极坐标系：ds=√(ρ²+ρ'²)dθ
空间体体积
直角坐标系，极坐标系 参数方程：写出直角坐标体积表达式，将参数方程带入，注意积分限 (旋转体)体积：V=2π∬r dσ，即∬环长*环截面积微元；V=∫πr² dx，即∫截面积*高微元
旋转体侧面积

参数方程所围区域图形，求其旋转体面积或体积，关键是在直角坐标系中写出面积或体积表达式，再将参数方程代入，相当于定积分的换元
物理应用
质量，做功，质心，液体压力 微元法 建坐标系 微元法表示微元 对微元积分
积分变限函数
求导
公式型：上下限都是函数 乘积型 换元型 求极限可能遇到形似定积分实际是变限积分函数，需要先完成变换
连续性可导性
F(x)=∫f(x)dx，x∈[a，b] f(x)可积→F(x)连续 f(x)连续→F(x)可导 f(x)可导→F(x)二阶可导 f(x)可去→F(x)可导 f(x)跳跃→F(x)连续，不可导 若f(x)有第一类间断点，则F(x)不是f(x)的原函数
奇偶性
注意变上限积分函数与不定积分奇偶性的差异 区别在于常数C
题型
概念性质几何意义
积分大小比较
看积分限和被积函数 积分限不同可考虑换元 换元利用三角函数的周期性
积分等式和不等式
关键在于寻找式子两边主要函数的关联 积分区间不一样时，尝试拆分或合并积分区间
思路
单调性 积分换元，分部积分 中值定理
等式
变量代换，分部积分
积分换元，dx的替换，如d(x-1)
积分中值定理
不等式
积分不等式性质
柯西积分不等式适用于出现函数、导数的平方的积分
积分中值定理
化为变上限积分，求导
适用于已知函数单调性的定积分不等式
泰勒公式
缩放
积分形式的递推关系
见极限部分积分表示的数列 一般情况和不定积分通常是用分部积分
几何、物理应用
旋转体体积，平面面积 形心，质心 复杂图形化为重积分 区域在x轴下方时，加绝对值积分 变化率：选取合适微元积分，整体求导，带值得到所求变化率
变限积分函数
换元、拆项，求导
广义积分
无穷区间：p积分
比较判别法
比较判别法的极限形式
f(x)非负连续，f(x)·x^λ=C，λ＞1则收敛
求导极限判别法

无界函数：q积分
瑕积分 瑕点：任一邻域内都无界的点
比较判别法的极限形式
f(x)非负连续，f(x)·(x-a)^λ=C，λ＜1则收敛
题型
分区间判断判断敛散性
根据敛散性求参数
伽马函数、高斯函数
 高斯函数 
多元微分
概念
重极限
有理运算 极限与无穷小 夹逼
连续性
连续证明
有界，最值，介值
偏导数
求偏导
偏导数定义 可偏导证明 ，证x偏导和y偏导都存在 求对x的给定点偏导值，可以先代入y再求偏导 偏导数定义适用于：分段函数，带绝对值的函数，抽象函数，公式法不可带入的情况 
二阶偏导
二阶混合偏导连续则相等
可微

可微证明
必要：偏导数存在 充分：偏导数连续 先证偏导数都存在，再证 (Δz-dz)/ρ 的极限为0
等价形式
Δz=dz+o(ρ) 变形即为等价形式  Δz：全增量 dz：全微分，dz=Adx+Bdy，A=f'x，B=f'y 
复合函数
求导链式法则
全微分
一阶微分形式不变性 求全微分原函数：公式，积分，凑微分
隐函数
存在定理

隐函数求导法

题型
重极限存在判定及求值
讨论连续性、可导性、可微性
已知偏导数求原函数
积分 可结合微分方程出综合题
偏导数的变量替换
例如u=u(x，y)用ξ、η变换，ξ=x+ay，η=x+by： ①先变换出一阶，各有两项 ②根据一阶变换二阶，各有四项，合并为三项 ③代入原式替换
复合函数+隐函数
含抽象函数的复合函数 f(u,v,w)
不遗漏不重复
隐函数
单方程
公式法 两边求导 y=f(x,z)，z=z(x,y)由方程G确定： 视为三个变量两个方程的方程组{G=0，F=0}，方程组确定y=y(x)，z=z(x)，方程组对x求导得到新方程组，解方程组，可用克拉默法则； 将z代入y=f(x,z)，两端对x求导，方程f两端分别对x、y求导，整理
方程组
对x求导得到新方程组，可用克拉默法则解方程组
极值与最值
无条件极值
必要：偏导数存在且为0 充分：邻域内存在二阶连续偏导数，且一阶偏导为0 AC-B²＞0 存在，A＞0极小 AC-B²＜0 不存在 AC-B²=0 不确定
条件极值
构造拉格朗日函数 分别对变量和λ求偏导，令其为0，联立方程组 解方程组得可能的极值点 根据具体问题或代入原函数判断 带根号的函数可以平方后再构造拉格朗日函数 可用线代方程组非零解条件求解拉格朗日方程
题型
函数若带根号或绝对值可求其平方的极值再开方 函数是倒数形式可先求其分母的极值 条件极值转化为无条件极值，如条件φ(x,y,z)=0容易解出z=z(x,y)，带入化简消元 多条件极值可消变量化简 若L(x，y，λ)关于x、y具有轮换性，则方程组一般有解x=y
求极值、条件极值
二元函数极值： 根据偏导数为0或不存在，找可能的极值点 用充分条件判定 二元函数条件极值：需要考虑λ=0 构造拉格朗日函数 分别对变量和λ求偏导，令其为0，联立方程组 解方程组得可能的极值点 根据具体问题或代入原函数判断 条件允许的话带入函数化简消元化为一元函数极值问题 可逆向出题，已知极值情况求参数范围 两约束条件的极值问题，方程系数构成方阵，令全微分为0，用行列式解
求有界闭区域最值
求内部可能的极值点（不用拉格朗日乘数法） 求边界驻点（分段边界可能需分段，用拉格朗日乘数法，或变量代换求导找驻点） 带点求值，比较大小
方向导数与梯度
隐函数求导
方向导数 ∂f/∂l
可微，方向导数一定存在，反之不成立 方向导数中的偏导为单侧，因此若偏导数不存在但方向导数可能存在，此时用定义求 方向导数最大值即梯度的模  
梯度 grad f

向量场的散度和旋度
散度 div A
偏导数之和，是数 
旋度 rot A
行列式形式，是向量 
题型
计算
几何应用
曲线化为参数方程处理 曲面化为隐函数/单个方程处理
曲线的切线与法平面：切向量
显示形式：参数方程 隐式形式：两曲面相交，将一个变量视为参数，按参数方程处理
曲面的切平面与法线：法向量
显示形式：z=f(x,y)，令F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 隐式形式：F(x,y,z)=0
应用
Tips
选择题
极限存在&数列敛散选择题，常用举例
±1/n，±1/√n，1/n·㏑n，{0,1,0,1···}，1+1/n 极限存在问题常用特殊举例：x²sin(1/x)，sin x/x，sin nπ 注意lim Xn=0，Xn可以是恒等于零，或者是无穷小 同理lim Xn=A，Xn可以是恒等于A，或者是A+o 有界、无界举例：sin n，{0,1,0,2……} 注意： 特殊情况下的数列函数复合极限存在性问题 无界与无穷的区别 导数定义 单调有界 夹逼准则
设符合抽象条件的具体函数用排除法
积分不等式常用几何法、放缩
直接带入选项计算
看逆否命题
证明等式不等式
同函数不同点之差
移项构造辅助函数
点的信息的各种形式
已知条件，极限，积分，曲线相交 积分形式的条件，积分为0，且积分限端点均为正，则有两个零点
抽象函数求导时注意函数是否可导
如果抽象函数只给连续的条件，暗含不可直接求导，可用导数定义或换方法不求导
绝对值去不掉时考虑分区间
基本公式
各种积分的定义式
三角函数
和差化积

倍角公式

升幂降幂

积化和差

反三角函数

立方和差与和差立方公式

x^10-1，x^10化为积式
微分方程
概念
微分方程；阶；解；通解；特解；初始条件，积分曲线
一阶微分方程
可分离变量的方程
分离变量两端积分
齐次微分方程
u=y/x→y=xu，对x求导
线性微分方程
伯努利方程
特征：等式右端为Q(x)·yⁿ 处理：两端同乘以y^-n，令u=y^(1-n)，化为一阶线性
全微分方程
偏积分 凑微分 
可降阶的高阶方程
n阶导，不显y，不显x
不显x：y'=p，y''=p·dp/dy
高阶线性微分方程
线性微分方程解的结构
y"+p(x)y'+q(x)y=f(x), [f(x)不恒为0] y"+p(x)y'+q(x)y=0 齐次通解=C₁y₁(x)+C₁y₂(x) 非齐通解=齐次通解+非齐特解 齐次特解=非齐特解1-非齐特解2 非齐次线性方程解的叠加原理
常系数齐次线性微分方程
y"+py'+qy=0 分析特征方程：不等实根，二重实根，共轭复根
常系数非齐次线性微分方程
y"+py'+qy=f(x) 通解=齐次通解+非齐特解 特解的两种形式： 
欧拉方程
形如 ax²D²y+bxDy+cy=f(x) 令x=e^t，则t=㏑x，将对x的导转化成对 t 的导数然后化简，x<0时令x=-e^t
题型
特殊微分方程处理
dx、dy对调； 利用变换将微分方程化为关于某变量的方程，例如：利用变换u=e^x求微分方程 利用导数找变量代换：出现y²， yy'=(y²)'；tan，sec²；(siny)' 上下同除以 xy、x 等等，化为齐次式 等号右边有 sin²、cos²，降幂 求二阶导，用一阶导函数来化简 变系数二阶/高阶
解的性质与结构
对于变系数，设通解求导带入方程消去变量
含积分方程求导化为解微分方程
应用：几何物理关系建立微分方程
空间解析几何
向量代数
概念
向量，模，单位向量，方向余弦，向量投影
数量积
几何表示，代数表示
a·b=|a|·|b|·cos α
几何应用
求模，求夹角，垂直判定
向量积
几何表示，代数表示
|axb|=|a|·|b|·sin α α x β ≠ β x α α x β ＝- β x α
几何应用
求垂直向量，求平行四边形面积，向量平行判定
混合积
（abc）=a x b · c=行列式
运算规律
轮换对称性，交换变号
几何应用
平行六面体体积，三向量共面判定
题型
向量运算及应用
空间平面与直线
平面方程
一般式，点法式，截距式，三点式，平面族
三点式：由向量共面混合积为0推出 通过一般式得出过一条直线的平面族方程：化为隐函数式，F₁+λF₂=0 求过特定直线的平面方程，常利用平面束方程进行求解
直线方程
一般式，对称式，参数式，两点式
一般式：两平面的交线，将求直线转化成找相交平面 对称式：已知一点和方向向量，两个等号连接 参数式：已知一点和方向向量 两点式：已知直线上两点，两个等号连接 对称式和一般式的相互转化 注意对称式： (y-b)/m 和 (b-y)/m 的方向向量不同！
距离
点到面

点到直线
点到直线：向量叉乘的模/直线方向向量的模 平面直线：Ax+By+C=0 
直线到直线
异面直线的距离： 1，先求两异面直线的公共法向量，再求两直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的投影长  2，平行六面体的体积/底面积=高 
位置关系
面与面
垂直⇔A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 平行⇔A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂
线与线
面与线
夹角：arcsin
应用
建立直线、平面方程
平面和直线位置关系
复杂求直线问题可从找相交平面入手
曲面与空间曲线
曲面方程
一般式
空间曲线
一般式，参数式
常见曲面
柱面
旋转曲面
曲线绕z轴： 曲线化为参数式，固定 t 得直线上一点M(x(t)，y(t)，z(t)) 点M到z轴距离为d，旋转得d²=x²+y²=x²(t)+y²(t) 结合z=z(t)，用z消去x²+y²=x²(t)+y²(t)中的 t 便得到旋转面方程 直线绕任意直线同理
二次曲面
单叶双曲面：++-=1 双叶双曲面：++-=-1 椭圆抛物面：++=cz 双曲抛物面：+-=cz 特殊：非对称锥面  
空间曲线投影
联立线、面方程消去一个轴，得到柱面方程，柱面方程令消去的轴的坐标为0，则固定为投影平面
题型
建立柱面方程
建立旋转面方程
建立投影曲线方程
多元积分
一型线积分
Δs
性质
奇偶性/轮换对称
计算
参数法

应用
弧长，质心，转动惯量
一型面积分
面质量/面面积 ΔS
性质
奇偶性/轮换对称
计算
投影算二重积分
把曲面方程带入被积表达式进行化简 求出投影区域，求dS（偏导平方和开方），计算二重积分 
应用
曲面面积，质心，转动惯量
二型线积分
变力沿曲线做功 Δx，Δy
性质：有向
计算（平面）
参数法
变量参数化，计算定积分，下限对起点，上限对终点  
格林公式
条件：分段光滑有向闭区域 闭区间，非闭补线，挖去奇点
积分与路径无关
P、Q在单连通区域D上有一阶连续偏导数，四条等价命题： 线积分与路径无关 L的线积分为0，L为D中任一分段光滑闭曲线 ∂P/∂y=∂Q/∂x，(x,y)∈D Pdx+Qdy=dF 将复杂曲线转化成线段或圆 对不包含奇点的单连通区域区域应用积分与路径无关 沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零 沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等
计算（空间）
参数法
变量参数化，计算定积分，下限为起点，上限为终点 先求xOy投影区域方程，列出x、y的参数式，再根据关系写出z的参数式，带入积分式求解
斯托克斯公式
条件：分段光滑空间有向闭曲线  
代入消元化为平面线积分
向量点积法
斯托克斯公式+转换公式 
二型面积分
流量的计算问题 
性质：有向
计算
投影法
dxdy投影到xOy面，注意方向 使用转换公式 
转换公式
步骤：曲面方程改成隐函数式，求方向向量，求方向余弦，应用转换公式转换成易求的投影面 
高斯公式
空间闭区域由分片光滑闭曲面所围成，对单连通区域和复连通区域均成立，P、Q、R有一阶连续偏导 闭区间，非闭补线，挖去奇点 
向量点积法
由斯托克斯公式/转化公式得出 
概要
线面积分化简
化简：公式，对称性（包括奇偶性和轮换对称性），代入边界，形心质心 因为曲线积分和曲面积分的被积函数是定义在曲线和曲面上的，所以第一型曲线、曲面积分和第二型曲线、曲面积分在计算时，可将曲线与曲面方程代入被积函数化简
积分与路径无关
补线补面
重积分
二重积分
定义
曲顶柱体体积，面质量
性质
不等式性质
f(x)≤g(x) 最值*面积 绝对值
积分中值定理
二重积分的中值定理：配合极限出题 ∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)·S
奇偶性/对称性
偏心圆、奇偶性的平移
计算
化为累次积分
换元法
 雅可比行列式 
直角坐标 ⇌ 极坐标
广义极坐标，利用雅可比行列式的变换 椭圆：|J|=abr，∬dxdy=∬abr·drdθ
交换积分次序
极坐标换序视为直角坐标处理，视θ为x轴，r为y轴 通常出现在二重积分化简求值、求导
应用
平面面积、质量，曲顶柱体体积， 形心/质心，转动惯量
三重积分
定义，物理意义
性质
奇偶性/轮换对称
计算
直角坐标
投影法、先一后二：写出Ω的投影D、上下边界曲面方程z(x,y)，先z后y再x，∫dx∫dy∫dz 切片法、先二后一：已知平行截面面积S的表达式，∫dz∬dxdy=∫Sdz=∫dz∬r·drdθ
柱坐标
投影—穿—穿：适用于Ω在xOy的投影区域D为圆域 先由曲面方程得z的上下限，由投影D得r的上下限，最后是θ 
球坐标
dv=r²·sinφ·drdφdθ x=r sinφ cosθ y=r sinφ sinθ z=r cosφ 
应用
体积，质心，转动惯量
转动惯量：质量（ρdV）乘以距离的平方，∬d²·ρ dV
概要
常见图形及表达式
椭圆面积S=πab，椭圆体V=4πabc/3，对比圆/球的公式 椭圆(x₁,y₁)点切线方程：x₁x/a²+y₁y/b²=1 椭球(x₁,y₁,z₁)点切平面方程：x₁x/a²+y₁y/b²+z₁z/c²=1 椭圆：|J|=abr，∬dxdy=∬abr·drdθ 对于未知图形：分析奇偶性，对称性，特殊点
积分计算
积分的化简
奇偶性，对称性 偏心圆化简 关于直线(非坐标轴)对称化简 ∬xdxdy利用形心计算式 分区域积分
重积分⇌累次积分
定积分的值与积分变量的符号无关
交换积分次序
无穷级数
常数项级数
概念性质
定义 收敛与发散 性质：数乘，级数加减，删改有限项，加括号，收敛必要条件 lim an=0 加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛
常用级数
等比级数

p级数

正项级数
比较法
证明题常用比较法 
比较法极限形式
找同阶或等价无穷小
比值法
根值法
比比值法应用范围更广 n次方为1时敛散性不确定
充分非必要
积分判别法
非负函数f在[1，+∞）单减，则正项级数Σf与反常积分∫f dx，[1，+∞）的收敛性相同 常用于含对数的级数，1/n·㏑n、1/(x·㏑x)^½发散
交错级数
交错级数收敛，加括号后依然收敛
莱布尼茨准则
an单调减且极限为0则收敛，充分非必要条件 当an不单调时使用定义法求前n项和或拆项
任意项级数
绝对收敛，条件收敛
绝±条=条，绝±绝=绝，条±条=条或绝 条件收敛的点即收敛区间端点 Σ|an|发散，an敛散性不确定，若用比值法或根值法确定Σ|an|发散，则lim an≠0，,Σan必发散 Σan收敛，则添加括号后仍收敛；逆否命题，即添加括号后发散，原级数也发散
幂级数
阿贝尔定理，收敛半径，收敛域
收敛半径计算公式：比值法或根值法，ρ=|an+1/an| 公式条件是充分非必要条件 只有偶次项或奇次项可开方，各种缺项情况的R可用比值法推出
性质
有理运算性质
两个收敛半径相等（R₁=R₂）的幂级数相加，R≥R₁ 幂级数相乘，R取小
分析性质
和函数：连续性，可积性，可导性 逐项求导、积分收敛半径不变，端点敛散性可能改变，即收敛域可能改变 逐项可导，收敛域不扩大 逐项可积，收敛域不缩小 和函数求导收敛域可能不包含端点，但根据和函数连续性，最终结果可包含端点
幂级数展开，幂级数求和
展开形式、和形式、收敛域 展开为幂级数：①直接法：利用泰勒公式；②间接法：利用常用幂级数 arctan x展开为幂级数 和函数S(x)：①注意x=0和端点等特殊点，如0^0=1，和函数可能分段；②积分是变上限积分，不是求原函数 
题型
判断、证明敛散性
审敛先判断级数类型（正项级数？交错级数？常数项级数？） 交错级数用莱布尼茨判别法需确认an单调 定义法求前n项和 常用发散举例：±1/n，±1/√n，1/n·㏑n，{0,1,0,1···}，1+1/n lim an=。。。，用处理极限的方法找同阶无穷小 小结论： 
求收敛半径、收敛域
公式法极限不存在时考虑拆项分别求 缺项与偶次项的区别 缺项的幂级数收敛半径： 比值法 用阿贝尔定理再开方(x^mn则开m次方)
级数求和
逐项求导 逐项积分 恒等变形 微分方程
幂级数
先求收敛域 代公式，拆项凑项，求导消分母 逐项积分做变上限定积分，确定x=0的和函数 注意和函数可能的分段 递推关系式形式求和
常数项级数
转化为幂级数求和
展开成级数（注明收敛域）
可能需要先分解部分分式 展开成某点的级数
大题出题角度
幂级数结合微分方程、数列 结合微分方程：S(x)逐项求导，调整下标找关系，带入微分方程或者配出微分方程 结合数列、极限：数列递推关系式较复杂，形式见数列极限，常见整理出an是级数型或带阶乘
傅里叶级数
狄利克雷收敛定理
条件（一个周期内）：连续或只有有限个第一类间断点，只有有限个极值点 和函数：连续点，间断点，端点 间断点的和函数即该点左右极限之和/2
展开
傅里叶级数不唯一，不同展开方式的结果可能不同
周期为2l

正弦/余弦级数

题型
傅里叶展开
和函数