考研现代总结

考研现代总结，特征值：|A-λE|=0解出λ的值；特征向量：将λ的值代入（A-λE)α=0,解出α，即为特征向量。

特征值和特征向量

• 定义Aα=λα
  • 解特征值和特征向量
    • 特征值
      • |A-λE|=0解出λ的值
    • 特征向量
      • 将λ的值代入（A-λE)α=0,解出α，即为特征向量
  • 特征值的性质
    • 特征值的和=主对角线元素和=tr(A)
    • 不同λ对应的特征向量是线性无关的
  • 矩阵的相似对角化
    • 相似定义：P^(-1)AP = B,记作A~B
    • 转置，逆矩阵，伴随也有类似性质
    • r(A) = r(B) λ(A）= λ(B)
    • 相似对角化：P^(-1)AP = 对角矩阵，称为A的相似对角化 A~^
      • 相似对角化的条件：1.实对称矩阵必可相似对角化 2.矩阵A必须有n个线性无关的α 3.K重根必有K个无关的特征向量 4.有n个不同的λ必可以相似对角化
      • 相似对角化步骤
        • |A-λE| = 0 ——>λ1、λ2....λn
        • (A-λE)α = 0 ——>α1、α2...αn
        • 对角矩阵为特征值构成的对角矩阵，P为（α1、α2...αn），一一对应
      • 实对称矩阵的相似对角化
        • • 实对称矩阵：关于主对角线对称
            • 性质：1.不同λ对应的α不仅线性无关而且正交 2.必可相似对角化
        • • 正交矩阵：1.所有列均为单位向量 ，且相互正交 2.满足Q^t=Q^(-1)
        • • 实对称矩阵的正交对角化
            • 对角化
            • 正交化
            • 单位化