1.1.1高数：知识框架—函数极限与连续、导数

高数知识框架--函数极限与连续、导数的思维导图，函数常考题型有复合函数和函数的性态，极限常考题总方法：利用基本极限求极限、利用等价无穷小代换、利用有理运算法则、利用洛必达法则、利用泰勒公式、利用夹逼准则、利用单调有界准则、利用定积分定义、利用中值定理。

函数、极限与连续

• 函数
  • 两大基本要素
    • 1.定义域 2.运算法则
  • 基本初等函数
    • 取整函数 反函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
  • 函数的性质
    • 1.单调性 2.奇偶性 3.周期性 4.有界性
      • 1.单调性 2.奇偶性 3.周期性 4.有界性
  • 常考题型方法与技巧
    • 题型一：复合函数
    • 题型二：函数的性态
• 极限
  • 数列极限
  • 函数极限
  • 1
    • 性质
      • 1.有界性 2.保号性 3.极限值与无穷小值
    • 极限存在
      • 需要分左右极限的三种情况
      • 存在准则： 1.夹逼准则 2.极限存在有界性准则
    • 无穷小量
      • 性质
        • 1.有限个无穷小量的和仍是无穷小量
2.有限个无穷小量的积仍是无穷小量 3.无穷小量和有界量的积仍是无穷小量
      • 无穷小量的比较
    • 无穷大量
      • 性质
      • 常用无穷大量的比较
      • 无穷大量与无界变量的关系
      • 无穷大量与无穷小量的关系
    • 常考题型方法与技巧
      • 题型一：概念、性质及存在准则
      • 题型二：求极限
        • 数列极限
          • 不定式的数列极限
            • 参考函数极限不定式求解方法
              • 数列极限用洛必达法则注意事项∶ 数列没有导数这一概念 但是有时候仍然可以用洛必达法则
          • n项和的数列极限
            • 1.夹逼原理 2.定积分定义
              • 选哪一个？
                • 1.夹逼原理：适用变化部分是主体次量级（如：n方/n→0） 2.定积分定义：适用变化部分与主体同量级（如：n/n→1）
            • 3.级数求和
          • n项连乘的数列极限
            • 1.夹逼原理 2.取对数化为n次和
          • 递推关系X1=a1，Xn＋1=F（Xn）（n=1，2......）定义的数列
            • 方法一： 1.证明{Xn}收敛（单调有界） 2.等式Xn+1=F（Xn）两端取极限 3.得limF（A）=A
              • 单调性判定的方法
                • 1.单调增：（Xn-1）-（Xn）≥0 ；单调减：（Xn-1）-（Xn）≤0. 2.若{Xn}不变号， 单调增：[（Xn-1）/（Xn）]≥1；单调减：[（Xn-1）/（Xn）]≤0. 3.若{Xn}由X1=a1,Xn+1=F（Xn）（n=1，2....）所确定 ·若F（X）单调增，则Xn单调，且有： X1≤X2时，{Xn}单调增 X1≥X2时，{Xn}单调减
 （ps：如果无法比较X1和X2之间的大小关系，现已知必单调，也可搭配Xn有界证明极限存在）
 ·若F（X）单调减，则{Xn}不单调
              • 常用不等式
                • （1）2ab≤a²＋b²
（2）sinx＜x＜tanx
（3）[x÷（1＋x）]＜ln（1＋x） （4）1＋x≤e²
            • 方法二： 1.令limXn=A 2.等式Xn+1=F（Xn）两端取极限得A 3.证明limXn=A
              • 当F（x）单调减，Xn不具有单调性时适用
                • 利用极限定义“│X-a│＜ε”变形式子
        • 函数极限
          • “0/0”型极限
            • 1.洛必达法则 2.等价无穷小代换 3.泰勒公式
            • 原式化简
              • 1.极限非0的因子极限先求出 2.有理化 3.变量代换
          • “oo/oo”型极限
            • 1.洛必达法则 2.分子分母同除以分子和分母 各项中最高阶的无穷大
          • “oo—oo”型极限
            • 1.通分化为“0/0”（适用于分式差） 2.根式有理化（适用于根式差） 3.提无穷因子，然后等量代换、 变量代换或泰勒公式（适用于次数太高）
          • “0*oo”型极限
            • 化为“0/0”或“oo/oo”
          • “1的oo”型极限
            • 1.凑基本极限 2.指数法 3.相关结论
          • “oo的0次方”“0的oo次方”型极限
            • 指数法
        • 总方法
          • 利用基本极限求极限
          • 利用等价无穷小代换
            • 等价无穷小代换原则： 常用等价无穷小代换公式：
          • 利用有理运算法则
            • 极限有理运算法则：
          • 利用洛必达法则
          • 利用泰勒公式
            • 常用的泰勒公式：

          • 利用夹逼准则
          • 利用单调有界准则
          • 利用定积分定义
          • 利用中值定理
      • 题型三：确定极限式中的参数
        • “关键是求极限”
      • 题型四：无穷小阶的比较
        • 定阶题型
          • 1.洛必达求导定阶“k＋1阶” 2.等价无穷小代换 3.泰勒公式
        • 排序类题型
          • 定义法—“两两比”
          • 定阶
            • 1.除x确定其是x的几阶无穷小 2.求导降阶求阶 3.和取低阶 4.利用等价无穷小代换（同样适用反常积分代换） 5.若f(x)在x=0的某领域内连续，且当x→0时 f(x)是x的m阶无穷小， φ（x）是x的n阶无穷小，则当x→0时： 积分上限为φ(x)、法则为f(x)的定积分是x的n（m＋1）阶无穷小
• 连续
  • 1. 2.
  • 连续需要满足的三个条件
    • 1.在xo有定义 2.x→xo时，limf(x)存在 2.x→xo时，limf(x)=f(xo)
  • 充要条件
    • 1
  • 间断点
    • 分类
      • 第一类间断点
        • 可去间断点
          • 1.在xo无定义 2.当x→xo时，limf(x)存在
3.当x→xo时，[左limf(x)]等于[右limf(x)] 4.当x→xo时，limf(x)不等于f(xo)
        • 跳跃间断点
          • 1.在xo无定义 2.当x→xo时，limf(x)存在 3.当x→xo时，[左limf(x)]不等于[右limf(x)]
        • limf(x)存在
      • 第二类间断点
        • 无穷间断点
          • 1.在xo无定义 2.当x→xo时，limf(x)不存在但等于oo
        • 震荡间断点.....
    • 怎么找
      • 1.找无定义的点 2.判别类型
  • 运算
    • 1.两个连续函数“加减乘除”后依旧连续 2.内函数在定义域处连续 外函数在内函数值域处连续 “复合后”依旧连续 3.基本初等函数在定义域内连续 4.初等函数在定义区间内连续
      • 连续、不连续相关运算结论
        • 1.加减乘除：
连续＋（—）连续=连续
连续×（÷）连续=连续
连续＋（—）不连续=不连续 *
不连续×（÷）连续=不一定
不连续×（÷）不连续=不一定
 2.复合关系：

  • 性质
    • 最值定理
    • 有界值定理
    • 介值定理
    • 零点定理
  • 常考题型方法与技巧
    • 题型一：讨论连续性及间断点类型
    • 题型二：介值定理、最值定理及零点定理的证明题

导数

• 导数
  • 利用洛必达法则最多可用到几阶？
    • 1
  • 三种形式
  • 左右导数存在且相等
    • 可导的充分必要条件
  • 几何意义
    • 表示曲线在该点处切线的斜率
  • 求导公式
  • 求导法则
    • 有理运算法则
    • 复合函数求导法
    • 隐函数求导法
    • 反函数的导数
    • 1.乘幂函数 2.幂指函数 3.多个因式的乘除
      • 对数求导法
    • 高阶求导
      • 1.公式法 2.归纳法 3.泰勒级数 4.泰勒公式
• 微分
  • 可微
  • 与导数的关系（充分必要条件）
  • 几何意义
    • 表示曲线切线上的增量
• 连续、导数、微分 三者之间的关系
• 常考题型方法与技巧
  • 题型一：导数与微分的概念
    • （一）利用导数定义求极限
      • 1.凑定义的三种形式（加项减项or乘除）
      • 2.找满足条件的特殊函数式子
        • 适用于选择题和填空题
    • （二）利用导数定义求导数
      • 定义法
        • 1.算出f'(x)
        • 2.代入xo
      • 设复合函数求导法
        • 含非0因子g(x)
    • （三）利用导数定义判断函数的可导性
      • 类型一：求在某点可导的充要条件
      • 类型二：含绝对值的—求在某点 可导的充要条件/可导不可导
        • 常用结论： 设f(x)=φ(x)│x-a│， 其中φ(x)在x=a处连续， 则f(x)在x=a处可导的充要条件是： φ(x)=0
      • 函数可导性和函数绝对值可导性的关系
        • 1.f(x)可导推不出│f(x)│可导；│f(x)│可导推不出f(x)可导. 2.设f(x)连续 （1）若f(xo)≠0，则： ·在xo处f(x)可导→│f(x)│可导； ·在xo处│f(x)│可导→f(x)可导； （2）若f(xo)＝0，则： ·f'(x)→│f(x)│在xo处可导 ·│f(x)│在xo处可导→f'(x) 几何上如下：
  • 题型二：导数的几何意义
  • 题型三：导数与微分的计算
    • （一）复合函数的导数
      • 类型一：计算复合函数某点处的导数值
      • 类型二：讨论复合函数某点处的导数是否存在
        • 1.若f'(x),g'(x)都存在，则有 （x=xo处的dy/dx）=f'(x)g'(x)
          • 若f'(x),g'(x)有一个不存在 并不能反推复合函数不存在 此时用方法2
        • 2.求f(g(x))的表达式
    • （二）隐函数的导数
    • （三）反函数的导数
    • （四）对数求导法
    • （五）高阶求导