【图解线性代数】第一章：线性代数的几何意义导读

线性代数是大学生工科必修科目，以后在社会上应用到的可能性更是很多，无论是算法还是制图或者考研，都用的到，这份思维导图写了如果从几何来理解线性代数的本质。

线性代数的几何意义

• 什么是线性代数
  • 向量的完全平方公式的几何解释
  • 线性函数
    • 中学的线性函数的概念
      • y=kx+b
    • 真正的线性函数的概念
      • y=kx
    • 区别
      • 线性函数必须满足可加性和比例性 但是中学的线性函数只满足可加性，不满足比例性 证明如下：对于f(x)=kx+b来说，kf(x)=akx+kb，但是f(kx)=akx+b 所以中学的线性函数不满足比例性
    • 基础概念
      • 线性函数必须满足可加性和比例性 可加性：和的函数等于函数的和 比例性：又被称为齐次性
      • 疑问：随意画两条直线，形成一个线性方程组是否符合线性代数的比例性？ 解答：那个线性方程组里面的每一项相对于它本身来说都是齐次的，即不存在任意常数或者其他无关变量进行干涉， 注：另外线性方程组是否存在比例性这个问题应该这样问，是否线性方程组的每一个线性函数式都存在齐次性和可加性，答案是符合，具体解释如上
    • 比例性的物理意义：不存在初始值，
  • 多元线性函数的几何意义
    • 超平面的意义
      • (1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。 比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。 (2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
    • 把n个n元线性函数组成一个满秩方程组才能表示一条直线
    • 再次声明：线性函数里面的初等运算只包括乘法和加法 其中除法和减法可以用乘法和加法实现
  • 线性映射和线性变换的几何意义
    • 我们所说的"线性"，实质上就是指变量之间的"线性关系"。 再次说明：线性关系就是两个变量之间满足可加性和齐次性
    • :线性映射就是把线段映射到线段 把线段映射另一个空间，如果这两个线性空间相等（两个线性空间指的是原空间和被映射空间），那么就是特殊的线性映射，也叫做线性变换
    • 映射前的图形和映射后的图形大部分情况下是不会全等的，全等的只是少数情况
    • 如果映射是发生在一个集合上的同 个坐标系中，线性映射就被称为线性变换 线性变换作为线性映射的特例，就是把集合上的两个坐标系合并为一个。
    • 线性变换的性质
      • 和的向量等于向量的和
      • 
      • 分别满足可加性和比例性
      • 投影和旋转都是线性变换的一种
      • 线性变换的含义：:变换空阅里的向量，空阔坐标系不变; 或者变换坐标系而向量不变。 两者是相对的，结果等价。