导图社区 高数C版函数与极限思维导图
关于高数C版函数与极限思维导图，高数复习，极限运算法则、函数的连续性与间断点等。汇总知识点。
基础会计第一章总论，包含会计的产生与发展、 会计的含义、会计的基本职能与作用、 会计方法与会计循环等。
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高数
第一章 函数与极限
1.1函数
函数的概念
文字表达
设在某一变化过程中，有两个变量x和y，D是一个给定的数集，对于D中的每一个数x，变量y按照一定的对应法则¦，总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数
确定≠唯一
数学表达
y=¦(x）
两要素：定义域+¦（对应法则）；x→¦→¦(x)
函数的几种基本特性
奇偶性
奇函数
¦(-x)=-¦(x)
偶函数
¦(-x)=¦(x)
运算法则
（1）奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数
（2）偶数个奇（或任意多个偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数之积为奇函数
（3）一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数
单调性
单调递增
x1＜x2时，¦（x1)＜¦(x2)
单调递减
x1＜x2时，¦（x1)＞¦(x2)
周期性
f(x+T)=f(x)
运算性质
(1)若T为¦(x)的周期，则¦(ax+b)的周期为T/|a|
(2）若¦(x）、g(x)都是以T为周期的函数，则¦(x)±g(x)也是以T为周期的函数
(3)若¦(x)、g(x)分别是以T1，T2（T1≠T2)为周期的函数，则¦(x)士g(x）是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数
有界性
收敛Þ有界；无界Þ发散；有界推不出收敛
设函数¦(x)的定义域为 D，数集I∈D，如果存在数 M1，使得¦(x)≤M1，对任一x∈I都成立，则称函数¦(x）在I上有上界；如果存在数 M2，使得¦(x)≥M2，对任一x∈I都成立，则称函数¦(x）在I上有下界
反函数
反函数的概念
x=¦-1(y)是y=¦(x）的反函数，y=¦(x）是x=¦-1（y)的直接函数
反三角函数
y=arcsinx
y=arccosx
y=arctanx
y=arccotx
复合函数
初等函数
基本初等函数
常数函数y=C，幂函数y=x^a(a是常数），指数函数y=a^x（a是常数且a>0，a≠1),对数函数y=logax(a是常数且a>0，a≠1），三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx 和反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx，y=arccotx
分段函数一般不是初等函数；绝对值函数是初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
数学建模——函数关系的建立
经济学中几种常见的函数
1.2数列的极限
数列极限的定义
如果一个数列没有极限，称该数列是发散的
对于数列{y}及常数A，若当n无限增大时，yn的值无限地趋向于常数A，则称数列{yn}当n→∞时以A为极限，或称数列{y}收敛于A，记为limyn=A或yn→A(n→∞）
（e-N）：分析法|an-A|<e Þ求NÎZ Þ写定义
"e>0，$N>0，使得当n>N时，有|an-A|<e
几何解释
任意给定的正数e：作以A为中心，e为半径的开区间（A-e，A+e）
存在正整数N：存在一点yn
当n>N时，|yn-A|<e等价于A-e<yn<A+e:点yN以后的各点都落在（A-e，A+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在这个区间外
收敛数列的性质
极限的唯一性
保号性
收敛数列的任一子数列收敛于同一极限
1.3函数的极限
当x®∞时函数y=f(x)的极限
当x®x0时函数y=f(x)的极限
1.4无穷小与无穷大
无穷小
lim¦(x)=AÛ¦(x)=A+a，其中A是常数，a是当x®x0时的无穷小
定义
设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义（或|xI大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在一个正数d（或正数X），当0<|x-x0|<d(或|x|>X)时，不等式|¦(x)|<e恒成立，则称函数¦(x）当x→x0(或x→∞)时为无穷小，记作lim¦(x)=0(或lim¦(x)=0)
基本性质
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小
有界函数与无穷小的乘积为无穷小
有限个无穷小的乘积为无穷小
常量与无穷小的乘积是无穷小
无穷大
无穷大Þ无界变量，无界变量Þ´无穷大
设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义（或|xI大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在一个正数d（或正数X），当0<|x-x0|<d(或|x|>X)时，不等式|¦(x)|>M恒成立，则称函数¦(x）当x→x0(或x→∞)时为无穷大，记作lim¦(x)=¥(或lim¦(x)=¥)
如果在无穷大的定义中，把|f(x)|>M换成f(x)>M(或f(x)<-M)，就记作lim¦(x)=+¥(或lim¦(x)=-¥
无穷大与无穷小的关系
在自变量的同一变化过程中，如果¦(x）为无穷大，则1/¦(x)为无穷小；反之，如果¦(x）为无穷小，且¦(x)¹0，则1/¦(x)为无穷大
1.5极限运算法则
确定式
代入法——初等函数
未定式
A/0=¥
利用无穷小与无穷大关系（直接判定法）
A/¥=0
0/0
约零因式
（1）多项式/多项式（因式分解)
（2）上、下同乘一项，构成平方差，消根式
¥/¥
多项式/多项式
取大头（同除以分子、分母最高次幂项）
¥-¥
（1）通分
（2）同乘/除一项
无穷小*有界=无穷小
lim¦(x)/x-a=AÞlim¦(x)=0
总结
其中a0¹0，b0¹0，m、n为非负数
=
a0/b0，n=m
0，n<m
¥，n>m
1.6极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则
I.夹逼准则
数列{xn}{yn}
函数同理
(1)$n0ÎN,n>n0时,yn£xn£zn
(2)limyn=a,limzn=a
则limxn=a
II.单调有界准则
单调有界数列必有极限，收敛必有界，有界不一定收敛
两个重要极限
x®0
limsinð/ð，ð®0
无sin有tan,arcsin,cos¼
中间为“+”
1/x与x互为倒数
x®¥
分子部分为1
1.7无穷小的比较
lima/b
0
a是比b高阶的无穷小
1
a是与b等价的无穷小，a~b
¥
a是比b低阶的无穷小
C(¹0)
a是与b同阶的无穷小
常用等价无穷小
只适用于乘除
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x
ln(1+x)~x
e^x-1~x
1-cosx~1/2x^2
(1+x)^n-1~nx(n¹0且为常数）
a^x~xlna(a>0,且a¹1)
1.8函数的连续性与间断点
函数的连续性
左右连续概念
如果lim¦(x)=¦(x0)，则函数¦(x)在x0处是左连续的，x®x0`
如果lim¦(x)=¦(x0)，则函数¦(x)在x0处是右连续的，x®x0+
某区间的连续性
若¦(x）在开区间(a，b）内每一点都是连续的，则称¦（x）在开区间(a，b）内连续
若¦(x)在开区间(a，b)内连续，且在区间的左端点a右连续，在区间的右端点b左连续，则称¦(x）在闭区间[a，b]上连续
若¦(x)在定义域内连续，则称¦(x）为连续函数
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
有极限、有定义、极限＝函数值
函数的间断点
函数不连续的点
¦(x)在点x0处没有定义
¦(x)在点x0处有定义，且lim¦(x)不存在，x®x0
¦(x)在点x0处有定义，且lim¦(x)存在，x®x0，但lim¦(x)¹¦(x0)
类型
第一类间断点（左、右极限都存在）
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点（左、右极限至少一个不存在）
振荡间断点
无穷间断点
在x0无定义、lim¦(x)不存在、lim¦(x)¹¦(x0)
1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的四则运算
反函数的连续性
复合函数的连续性
初等函数的连续性
1.10闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数最大值和最小值定理
如果函数¦(x)在闭区间[a，b]上连续，那么至少存在一点x1Î[a，b]，使¦(x1)是¦(x)在[a，b]上的最大值，即对于任一xÎ[a，b]都有¦(x)£¦(x1)成立；同时至少存在一点x2Î[a，b]，使¦(x2)是¦(x)在[a，b]上的最小值，即对于任一xÎ[a，b]都有¦(x)³¦(x2)成立
推论(闭区间上连续函数有界性定理):如果函数¦(x)在闭区间[a，b]上连续，那么存在一个正数M，对于任一xÎ[a，b]都有|¦(x)|£M
闭区间上连续函数介值定理
如果函数¦(x)在闭区间[a，b]上连续，m和M分别为¦(x)在闭区间[a，b]上的最小值和最大值.那么任一实数c（m<c<M)，至少存在一点xÎ[a，b]，使得¦(x)=c
推论（闭区间上连续函数零点存在定理）：如果函数¦(x)在闭区间[a，b]上连续，且¦(a)·¦(b)<0，那么至少存在一点xÎ(a，b)，使¦(x)=0
f(-x)=-f(x)
单值函数与多值函数
