高等数学 第九章

数学不怎么的好？那这份同济高等数学第七版第九章学习笔记思维导图你不要错过了！这份思维导图详细的讲解了第九章 多元函数微分法的多元函数基本概念、多元复合函数求导和全微分以及偏微分的内容。建议收藏学习起来！具体要配合上课用。

高等数学 第九章

• 偏导数的几何含义
  • 对于一元函数可导必连续
  • 对二元
    • 对x的偏导存在，存在所在曲线连续；
    • 偏导存在，在（x，y）未必连续
• 全微分
  • 偏增量
  • 全增量
  • 定义
  • 定理
    • 可微的必要条件
      • 若z在（x，y）可微，则偏导存在
      • 偏导数存在是可微的必要不充分条件
    • z在（x，y，）的某个临域有连续的偏导数，则在（x，y，）处可微
  • 近似计算
• 多元复合函数的求导法则
  • 定理
    • 1
      • 一对二对一
    • 2
      • 一对二对二
        • 向右分支，一个分支求导，多与一个分支求偏导
      • 一对三对二
    • 3
      • 一对二，一对二，一对一
    • 4
      • 一对abc，a对bc
        • z与f的不同
    • 画图理解
• 隐函数的求导公式
  • 一个方程的情形
    • 定理
      • dx/dy=-Fx/Fy
        • 有负号
        • 分子分母交错对应
      • 2
        • 三个变量xyz
          • 有负号
          • 分子分母交错对应
  • 方程组的情形
    • 定理3
      • 雅可比行列式
        • 二阶行列式
• 多元函数微分学在几何上的应用
  • 一元向量函数值及其应用
    • 定义
      • （默认三维空间）
    • 极限
    • 导向量
    • 向量函数
    • 方向导数
• 曲面的切平面与法线
  • 隐函数
  • Z=f（x，y）
    • F=f（x，y）-Z=0
• 方向导数
  • 定义
    • 二元函数
  • 方向导数存在，偏导数不一定存在
  • 定理
    • 在一点处可微，方向导数存在，且等于。。。
  • 多元函数总结
    • 偏导存在推不出来连续
    • 可微偏导一定存在
    • 偏导存在且连续则必可微
    • 可微必连续
    • 可微方向导数必存在
• 梯度
  • grad
    • 梯度是个向量
    • （方向导数是个数）
  • 方向导数
    • 梯度点乘单位向量
      • 角度=0
        • 方向导数最大值
      • 角度=派
        • 方向导数最小
      • 角度=1/2派
        • 方向导数=0
        • 等值线
  • 单位法向量
• 多元函数极值，最大值最小值
  • 定理
    • 必要条件
      • 函数有偏导且在一点有极值，则x，y偏导为0
      • 驻点
        • x，y偏导同时为0
        • 驻点不一定是极值点
        • x，y偏导为0的点一定是驻点
    • 驻点是不是极值点
      • 求出驻点
        • 偏导为0
      • 求出ABC
      • AC-B方
        • 大于零
          • 有极值
            • A大于0
              • 极小值
            • 小于0
              • 极大值
        • 小于零
          • 无极值
        • 等于零
          • 无法判断
• 数量场，向量场
  • 数量场
    • 每个点对应一个数
  • 向量场
    • 每个点对应一个向量
• 多元函数最值
  • 驻点
    • 一个
  • 偏导不存在
  • 端点
• 条件极值 ，拉格朗日乘数法
  • 无条件极值‘
  • 条件极值
    • Z，条件为F
    • 拉个两日乘数法
      • 构造辅助函数
    • 两个函数作为约束
      • 两个变量
        • 求一阶偏导
        • 约束条件=0