中值定理与导数的应用

这是一篇关于中值定理与导数的应用的思维导图，泰勒公式、洛必达法则、函数的单调性与凹凸性等。

中值定理与导数的应用

• 微分中值定理
  • 费马定理：设y=f(x)在x。点取得极值，若f(x)在(x。）点可导，则f'(x。）=0
  • 罗尔中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，若f(a)=f(b),则必存在ɛ∈（a,b),使得f'(ɛ）=0
  • 拉格朗日中值定理：设(x)在在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,则必存在ɛ∈（a,b）,使得 f'(ɛ) =f(b) -f(a)/b-a
    • 推论1：[a,b]上连续函数f(x)是常数的充要条件为在（a,b)内，f'(x)=0
    • 推论2：在f'(x)=g'(x),x∈（a,b)，则f(x)=g(x)+c,x∈(a,b),这里c是一个确定常数，当x>0.ln(1+x)<x.
  • 柯西中值定理： 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g'(x)≠0,x∈(a,b)，则必存在ɛ∈(a,b),使得f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(ɛ)/g'(ɛ)
• 泰勒公式
• 洛必达法则
• 函数的单调性与凹凸性
  • 一阶导数的符号与单调性:定理:设函数y=f(x)在[a,b上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f(x)> 0,那么函数y= f(x)在[a,b]上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)<0 ,那么函数y=fx)在[a,b]上单调减少
  • 二阶导数符号与函数凹凸性：定义4.2 设f(x)在(a,b)内有定义,若对任何x₁,x₂∈(a,b),任何非负数q₁，q₂，q₁+q₂=1有f(q₁x₁+q₂x₂)≤q₁f(x₁)+q₂f(x₂)则称f(x)在(a,b)内是下凸的或称f(x)在(a,b)内是上凹的,也称 f(x)是(,6)内的下凸函数
  • 性质4.2设f(x)在(a,b)内二阶可导,则f(x)在(a,b)内是下凸的(或上凸的)充要条件是f"(x)=0(或f"(x)<0)
  • 推论 f(x)在(a,b)内二阶可导,则(x)是(a,b)内的下凸(或上凸)函数的充要条件是f'(x)在(a,b)内单增(或单减)
  • 定义4.3 设f(x)在x,的某一邻域内连续,若(x)在。点的左右邻域内凹凸性不一致,则称 x。为f(x)的拐点
• 函数的极值与最大（小）值
  • 极值（局部性）：定理(必要条件) 设(x)在点处具有导数且在x处取得极值,那么必定f'(x。)=0 注意: 可导函数 f(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却不一定是极值点
  • 定理 (极值存在的第一充分条件);设函数f(x)在的某邻域内连续且在空心邻域内有导数，当x由小到大通过x,时，(1) fx)“左正右负”，则f(x)在取极大值;(2) f(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值
  • 定理 (极值存在的第二充分条件):设函数f(x)在点x处具有二阶导数，且 f'(x。)=0，f"(x。)≠0(1)若f"(x。)<0，则f(x)在点X 取极大值 ;(2)若f"(x。)> 0，则f(x)在点 取极小值
  • 函数求最值的方法：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续则其最值只能在极值点或端点处达到 (1)f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点;(2)求出f(a），f(b);(3)比较几个值，得出最大最小
• 函数作图
  • 曲线的渐近线：定义：若曲线 C上的点 M 沿着曲线无限地远离原点时点M 与某一直线L的距离于直线L为曲线 C的渐近线
  • 水平与垂直渐近线：若 lim f(x)= b,则曲线 y= f(x) 有水平渐近线 y= b.++0(或X>-∞)；若 lim f(x)= ∞,则曲线 y= f(x)有垂直渐近线 x=x(或X->x。）
  • 斜渐近线：若 limlf(x)-(kx+b)]=0，则曲线y= f(x)有斜渐近线 y=kx+b（或X→-∞