数学用语：环

环(Ring)是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

环

• 相关定义
  • 环的定义（加法成群，乘法是半群，乘法对加法有分配律）
    • 举例
      • n阶方阵环
      • 多项式环
      • 整数环
      • 群环
  • 单位群（U(R)）：乘法可逆元群
  • 子环（有环结构的子集）
    • 例：Z的子环mZ
  • 理想
    • 定义：子环，满足加法封闭，对环中任意元素乘法封闭（左右乘分为左右理想）
    • 性质
      • 任意多个理想的交是理想
      • 
    • a生成的理想（包含a的全部理想的交，包含a的最小理想）
      • 
      • 集合S生成的理想（包含S的所有理想的交）
      • 主理想（一个元素生成的理想）
    • 极大理想和素理想(真理想)
      • 极大理想：I包含M，则I=M或I=R
        • R/M是域
        • 含幺环的任意真理想含于一个极大理想
      • 素理想：IJ含于P，则I,J中的一个含于P
        • R/M是整环
      • 两者联系
        • 1）极大理想是素理想
        • 2）PID的素理想是极大理想
  • 商环
    • 定义：对理想的加法商群（由于理想的性质，能定义商的乘法）
  • （无零因子环的）特征：所有元素（相同）的加法阶(∞特征是0)
  • 商域：在分量交叉相乘相等的等价关系下的全部等价类构成域
  • 直和
    • 外直和（分量加法直和）
    • 内直和（理想的加法内直和，乘法良定）
• 主要类别
  • 整环（含幺无零因子交换环）
    • 唯一析因环（UFD）：任意非零非单位元可唯一写成有限不可约元的乘积
      • 因子（a=bc，则b|a）
        • 最大公因子（整除关系下最大的公因子）
          • 最小公倍元（整除关系下最小的公倍元）
          • 存在性等价，且(a,b)[a,b]=ab
      • 不可约元（不是单位，没有真因子）
        • 整环中素元都是不可约元
      • 素元（作为乘积的因子时，是其中一个因子的因子）
      • 等价定义
        • 1）不存在无限的理想的真升链序列，且不可约元均是素元
        • 2）任意两非零元均有gcd(或lcm)
      • Gauss定理：D是UFD推出D[x]是UFD
    • 主理想整环（PID）：所有理想都是主理想
    • 欧几里得环（ED)：存在欧几里得算法（类带余除法，降阶分解）
      • 例：高斯整环，域上的多项式环
    • 性质：
  • 除环(体)（全部元乘法可逆的含幺环）
    • 域（交换的除环）
    • 非交换除环：四元数体
  • 单环（只有{0}和本身是理想）
  • 多项式环（R[x]）
    • 1）f(x)=g(x)h(x)，当r与h(x)系数可换时有f(r)=g(r)h(r)
    • 2）带余除法（对首项系数是单位的多项式左右带余除法存在唯一，余多项式阶低于被除多项式）
    • 3）UFD上的不可约多项式是商域上的不可约多项式
      • 
• 环同态
  • 定义（环到环的映射，保持像的环的结构）
    • 单同态、满同态
    • 同构（既单又满）
  • 环同态基本定理：
    • 子环对应定理（商的子是子的商）
  • 第一同构定理：
  • 第二同构定理：
  • 中国剩余定理：对两两互素的理想有
    • 推论(数论)：对两两互素的整数有