数学：群

我们都知道QQ群，微信群，那你知道，数学的世界里，群，是什么意思吗？在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

群

• 群的相关定义
  • 二元运算（f:S×S→S）
    • 等价关系（S×S的子集，满足自反性，对称性，传递性）
  • 群的定义（带有二元运算·的集合，满足结合律，有单位元和逆元）
    • 性质
      • 单位元、逆元唯一
      • 穿脱原理
      • 消去律
    • 举例
      • 一般线性群（可逆矩阵群）
      • 特殊线性群（行列式为1的可逆矩阵群）
      • 对称群（集合上所有可逆变换构成的群）
    • 等价定义
      • 单边定义（只要求单边单位元和逆元）
      • 消去定义（有限群是满足左右消去律的有限半群）
  • 子群（子集，有群结构）
    • 等价判定
      • 
      • 
    • 陪集（的等价类称左陪集）
      • 商群（）
    • Lagrange定理（|H|[G:H]=G）
  • 元素的阶（o(a)=min{m|a^m=1}）
  • 共轭（）
    • 共轭类分解（）
    • 中心化子（）
      • 类数等式（）
      • 群的中心
        • p-群有非平凡的中心
      • 正规化子（）
  • 集合生成的群（）
  • 直和
    • 外直和（分量形式）
    • 内直和（乘积分解唯一）
• 特殊的群
  • 循环群（一个元素生成的群）
  • 正规子群（）
    • 单群（正规子群仅有{e}和本身）
  • 置换群
    • Cayley定理（任意群同构于变换群，有限群同构于置换群）
    • 置换的表达
      • 置换可写成两两不交的轮换的乘积
        • （根据轮换的个数分为）奇置换、偶置换
        • 置换共轭当且仅当型相同
    • Sn和An(全体偶置换)
      • An，n＞5是单群
  • 自由群（字和字的逆连接）
    • 推论：(有限生成)群都是(有限生成)自由群的商群
      • 商掉的正规子群称为定义关系，这种表达称为预表现
  • 有限Abel群（均是Sylow p-子群的直和）
    • 划分（对p幂次的和的不同表示）
      • 初等因子（划分的每一项）
      • 不变因子（所以p的划分的幂次排序，较大的相乘，构成整除序列）
    • 推论：Lagrange定理逆定理对有限Abel群成立
  • 小阶群的结构（综合）
    • 1）2p阶非Abel群是Dp
    • 2）8阶非Abel群有D4、Q8
    • 3）12阶非Abel群有A4、D6、T
  • 可解群（导出列中终止于{1}）
    • 换位子群：换位子（）生成的群
    • Burnside：每个奇数阶群均是可解群
    • 推论：可解群的子群和商群均是可解群
    • 有限可解群等价定义：有终止于{1}的次正规群列
• 群同态
  • 定义：（保持像的群结构）
  • 群同态基本定理： ，
    • 子群对应定理：
    • 第一同构定理：
    • 第二同构定理：
• 群在集合上的作用
  • 正则作用（）
  • 诱导作用（）
  • 共轭作用（）
  • 轨道公式（）
    • Burnside引理（）
      • 项链数公式
        • 奇
        • 偶
• Sylow定理
  • Sylow1：
    • 推论：
  • Sylow2：有限群的Sylow p-子群彼此共轭
    • 推论：
  • Sylow3：有限群的任意素数幂阶子群均包含在某个Sylow p-子群中