一元函数积分学

这是一篇关于一元函数积分学的思维导图。考研高等数学第二讲 一元函数微分学知识体系 介绍一元函数微积分与微分方程的基本知识，内容包括：函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数的应用，定积分与不定积分，定积分的应用以及微分方程。 收藏下图学起来

中心主题

• 不定积分
  • 概念
    • 原函数：F(X)
    • 不定积分：F(X)+C
  • 原函数存在性：连续必有原函数；第一类间断点/无穷没有原函数
  • 不定积分的性质
  • 基本积分公式
  • 主要积分方法
    • 凑微分法
    • 换元法
    • 分部积分法：顺序：e^x,三角，多项式，反三角/对数
  • 常见可积函数积分
    • 有理函数积分
    • 三角有理式积分：tanx/2=t;sinx=2t/1+t^2;cosx=1-t^2/1+t^2;dx=2/1+t^2dt
    • 简单有理函数积分
• 定积分
  • 概念
  • 几何意义
  • 可积性
    • 必要条件：定积分存在，则在【a,b】上有界
    • 充分条件：f(x)在【a,b】上连续/有界且有限个间断点/有限个第一类间断点，则定积分存在
      • f(x)在【a,b】上连续，
      • 子主题
      • 子主题
  • 定积分的计算
    • 牛顿莱布尼兹公式
    • 换元积分
    • 分部积分
    • 奇偶性和周期性
    • 公式
      • 华里士（点火）
      • xsinx的定积分，x提出为π/2
  • 变上积分
  • 性质
    • 不等式
      • f(x)≤g(x),则f(x)的定积分≤g(x)的定积分
      • m(b-a）小≤f(x)的定积分≤M(b-a)
      • If(x)的定积分I≤If(x)I
    • 积分中值定理
      • f(x)在【a,b】连续，f(x)的定积分=f(c)(b-a)
      • f(x),g(x)在【a,b】上连续，g(x)不变号，则f(x)g(x)的定积分=f(a)乘以g(x)的定积分
  • 常见
    • 圆
    • x=a+b-t
    • f(x)可积，f(x)的变上限积分在区间连续
    • f(x）连续/可去，则变上积分可导；跳跃则连续不可导；无界则不存在
    • 连续可积存在原函数关系：见图
    • 柯西积分不等式：f(x)g(x）的定积分^2≤分别平方的分别定积分
    • sinx<x<tanx
  • 反常积分
    • 瑕点
    • 发散收敛
• 定积分的应用
  • 几何应用
    • 平面图形
    • 空间体积
      • 绕x轴
      • 绕y轴
    • 曲线弧长
    • 旋转体侧面积
  • 物理应用