矩阵

个人对于矩阵知识点的整理 只求过60的可以借鉴

矩阵

• 1. 定义
• 2. 线性运算
• 3. 乘法
  • A(m行n列B（n行j列)
    • AB有意义
      • j不等于m
        • BA无意义
  • AB不等于BA
  • AB=BA
    • AB可换，（AB）的幂=A的幂×B的幂
  • AB=0
    • A不一定=0
    • B不一定等于0
    • A或B的行列式=0
    • 至少有一个奇异矩阵
      • 至少有一个行列式不等于0
• 4. 初等矩阵与初等变化
  • 初等变化(不改变性质)
    • 数乘
      • r1+ar2
        • r1®rj
    • 初等矩阵（可逆）
      • 单位矩阵一次初等变换后
    • A初等变化®C=JA/AJ（J=E通过A的初等变化一次）
  • 梯矩阵
    • 性质
    • 最简梯矩阵
• 5. 矩阵类型
  • 对角矩阵
  • 可逆矩阵，逆是唯一的
    • A为n阶方阵
      • 解决A变为E的问题
        • 不可变
          • 不可逆
            • 当A的行列式=0，A不管等不等与0，A的伴随矩阵不可逆
        • 可变
          • 可逆
            • 条件
              • AB=E,A,B为可逆，非奇异矩阵
                • A可逆，B可逆，则AB可逆，且（AB）的逆=B的逆×A的逆
              • A的行列式不等于0
              • 转置A的逆=A的逆的转置
              • A可通过行列初等变化变为单位矩阵
                • A®B
                  • 有可逆矩阵PQ，使PAQ=B
            • A的转置行列式值仍相等
              • ABC=E（AB）=C的逆
            • 做法
              • 求A的行列式是否等于0
              • （A,E）®(E,A的逆)
                • A可逆，AX=B求X X=A的逆×B（A,B）®(E,A的逆×B)
              • A×A的伴随矩阵=A的行列式×E
                • 加行列号，|2|=2的n方，n阶数
  • 对称（反）矩阵
    • A=A的转置
    • A=-A的转置
• 6. 转置
• 7. 秩数
  • 定义
    • 不等于0的K阶子式最高阶
    • R（可逆矩阵）=N
  • 秩数不改变的情况
    • 转置
    • R（PA）=R(AQ)=R(A）A为任意矩阵，PQ为可逆矩阵
    • 初等变化
  • 求法
    • 梯矩阵的主列个数
  • 性质
    • R(A)=r,R(B)=sR（AB)>=r+s-n,AB有意义，R(AB)<=R(A)且R（B）
      • R(A+B)<=R(A)+R(B)
    • 两个矩阵的关系
      • R(A)=a R(B)=b
        • 相加：R(A+B)＜＝R(A)+R(B)
        • 相乘：AB有意义
          • AB=0
            • R(A)+R(B)＜=n
          • AB
            • R(AB)≤R(A) ≤R(B)