高数第七章微分方程

这里为大家整理了微分方程的相关知识点，微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。有以下三种类型：一阶微分方程、可降价的高阶微分方程、高阶性微分方程。

高数第七章微分方程知识总结

• 7.1微分方程的概念
  • 概念
    • 一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
  • 种类
    • 常微分方程
      • 一元函数的微分方程
    • 偏微分方程
      • 多元函数的微分方程
  • 阶
    • 微分方程中所出现未知函数的最高阶导数的阶数
  • 解
    • 通解
      • 解中含有任意常数，且个数等于微分方程的阶数
    • 特解
      • 满足初值条件的通解
    • 奇解
      • 不能从通解中得到
    • 一般解
  • 积分曲线
    • 微分方程解的图像
• 7.2可分离变量的微分方程
  • 形式
    • dy/dx=f(x)g(y) or g(y)dy=f(x)dx
  • 求解方法
    • 先分离变量，然后两边积分
• 7.3齐次微分方程
  • 形式
    • dy/dx=f(y/x)
  • 求解方法
    • 用换元法将其转换成变量可分离的微分方程
• 7.4一阶线性微分方程
  • 形式
    • dy/dx+p(x)y=Q(x)
      • Q(X)等于0
        • 齐次
      • Q(X)不等于0
        • 非齐次
  • 解法
    • 常数变易法
      • 先求对应的齐次线性微分方程
      • 把常数C换成u
      • 求y的导数
      • 代入原方程求解
    • 公式法
      • e^-∫p(x)(∫Q(x)e^∫p(x)dx+c)
  • 伯努力方程
    • dy/dx+p(x)y=Q(x)y^n (n不等于0,1)
    • n等于0或1
      • 方程为线性方程
    • n不等于0和1
      • 方程为非线性方程
    • 解法
      • 两端同除y^n
      • y^-n*dy/dx+y^1-n*p(x)=Q(x)
      • y^1-n求导得（1-n）y^-n*dy/dx
      • 令u=y^-n
      • du/dx+p(x)u/1-n=Q(x)/1-n
• 7.5可降阶的高阶微分方程
  • y^n=f(x)型
    • 求解直接积分
  • y"=f(x,y')型（不显含未知函数y）
    • 设y'=p,则y"=p'
    • 原方程转化为p'=f(x,p)
  • y"=f(y,y')型（不显含未知函数x）
    • y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=p*dp/dy
    • p*dp/dy=f(y,p)
• 7.6高阶线性微分方程
  • 形式
    • y"+p(x)y'+Q(x)y=f(x)
      • f(X)等于0
        • 齐次（二阶）
      • f(X)不等于0
        • 非齐次（二阶）
  • y"+p(x)y'+Q(x)y=0解的结构
  • 定理1：如果函数y1(x)与y2(x)是方程的两个解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解（C1和C2是任意常数）
  • 定理2：如果函数y1(x)与y2(x)是方程的两个线性无关的特解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)就是方程的通解（C1和C2是任意常数）
  • 推论：如果y1(x),y2(x),......yn(x)是n阶齐次线性方程y^(n)+a1(x)y^(n-1)+......+a(n-1)(x)y'+an(x)y=0的n个线性无关的解，那么方程的解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+......Cnyn(x)
  • 定理3:设y*（x）是二阶非齐次线性方程的一个特解，Y(x)是对应的齐次线性微分方程的通解，则y=y*（x）+Y(x)是二阶非齐次线性方程的通解
  • 定理4：设非齐次线性方程的右端f(x)是两个函数之和y"+p(x)y'+Q(x)y=f(x)=f1(x)+f2(x)，而y*1（x）和y*2（x）分别是y"+p(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y"+p(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解，则y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解（解的叠加原理）
• 7.7常系数齐次线性微分方程
  • 求解步骤
• 7.8常系数非齐次线性微分方程
  • 形式
    • 子主题
    • 子主题