导图社区 统计学
统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。统计学用到了大量的数学及其它学科的专业知识，其应用范围几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。干货满满，赶快收藏学起来吧！
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统计学 第六版 贾俊平
第四章 数据的概括性度量
一、集中趋势的度量
１．众数（ＭＯ）：
２．中位数（Ｍｅ）
子主题
３．四分位数（ＱＬ、ＱＵ）
４．均值（Ｘ）：
５．几何平均数（Ｇ）
６．众数、中位数和均值的比较
二、离散程度的度量
１．异众比率：（Ｖｒ）越大，众数的代表性就越差
２．四分位差（Ｑｄ）
３、极差（Ｒ）
４．平均差（Ｍｄ）
５．方差和标准差（σ²、σ）
样本方差和标准差的符号用Ｓ²和Ｓ表示，其公式中的分母应ｎ－１或Σｆ－１来表示。
标准分数
性质：平均数Ｚ＝０ 标准差σＺ ＝１
经验法则：当一组数据对称分布时，约有６８％ 的数据在平均数加减１个标准差的范围之内；约有９５％ 的数据在平均数加减２个标准差的范围之内；约有９９％ 的数据在平均数加减３个标准差的范围之内。统计上把落在３个标准差之外的数据称为异常值或离群点
６．标准差系数（Ｖσ） 离散系数或变异系数
三、偏态与峰态的度量
１．偏态系数（ＳＫ）
ＳＫ=Ｏ说明数据是对称分布ＳＫ为正，是正偏即右偏SＫ符号为负，则为负偏即为左偏；ＳＫ大于１或小于－１，称为高度偏态分布
２．峰态系数（Ｋ）
峰态系数为０，表明数据服从标准正态分布Ｋ＞０时为尖峰分布；数据的分布也更集中Ｋ＜０时为扁平分布，数据的分布也越分散
第五章 抽样分布与参数估计
一、概率抽样方法
１．简单随机抽样
重复抽样和不重复抽样
２．分层抽样
３．系统抽样
等距抽样或机械抽样
４．整群抽样
二、抽样分布
１．样本均值的抽样分布
无论重复抽样还是不重复抽样，样本均值的数学期望始终等于总μ），即 Ε（Ｘ）＝μ
样本均值的抽样平均误差（标准误差σｘ）
２．样本比例的抽样分布
ｎｐ≥ ５和ｎ（１－ｐ）≥ ５，就可以认为样本容量足够大
：无论重复抽样还是不重复抽样，样本比例的数学期望始终等于总体比例（π），即Ｅ（Ｐ）＝π
样本比例的抽样平均误差（标准误差σＰ）
３．样本方差的抽样分布
样本方差的抽样分布服从自由度为（ｎ－１）的χ２分布
三、总体参数的区间估计
1．估计方法及评价标准
点估计
区间估计
① 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，Ｅ（θ＾）＝θ；② 有效性：在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计也就越有效；③ 一致性：是指随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
２．一个总体参数的区间估计
总体均值（μ）的区间估计１－α的置信水平下
大样本
总体σ２未知，且小样本
总体均值区间估
正态总体未来观测值的预测区间估计某个未来观测值Ｘｎ＋１的预测区间
未来观测值Ｘｎ＋１预测误差比总体均值μ的估计误差要大。
总体比例（π）的区间估计：１－α的置信水平下
总体方差（σ²）的区间估计
３．两个总体参数的区间估计
两个总体均值之差的估计
小样本σ²１=σ²２
１．假定条件 ① 两个总体都服从正态分布 ② 两个总体方差未知但相等：σ²１=σ²２③ 两个独立的小样本（n1<30和n2<30）
小样本σ²１≠σ²２
两个总体均值之差的估计（匹配大样本）
１．假定条件① 两个匹配的大样本（n1≥３０和n2≥３０）② 两个总体各观察值的配对差服从正态分布
两个总体均值之差的估计（匹配小样本）
１．假定条件① 两个匹配的大样本（n1<３０和n2<３０）② 两个总体各观察值的配对差服从正态分布
两个总体比例之差的区间估计
１．假定条件① 两个总体服从二项分布② 可以用正态分布来近似③ 两个样本是独立的
两个总体方差比的区间估计：
四、样本容量的确定
１．估计总体均值的样本容量
２．估计总体比例时的样本容量的确定
大多数情况下，取Ｅ的值小于0.10；实际应用中，若π未知，可用样本比例Ｐ代替；当π无法知道时，通常取π(1-π)最大值为0.5代替
３．估计两个总体均值之差时样本容量的确定
第六章 假设检验
一，基本步骤
（显著性水平α是指当原假设实际上正确时，检验统计量落在拒绝域的概率
p<α，拒绝原假设
α：原假设实际正确，犯第一类错误的概率，弃真错误
二、一个总体参数的检验
１．总体均值的检验
小样本
２．总体比例的检验 np≥5
３．总体方差的检验
三、两个总体参数的检验
１．两个总体均值之差的检验
σ²1和σ²２已知，检验统计量运用Ｚ分
σ²1和σ²２未知但是相等自由度为(n1+n2-2)的ｔ分布
σ²1和σ²２未知但不相等，但是样本容量相等自由度为(n1+n2-2)=2(n-1)的ｔ分布
σ²1和σ²２未知但不相等，且样本容量不等 自由度为v的ｔ分布
２．两个总体均值之差的检验：匹配样本
３．两个总体比例之差的检验
（１）假定条件 ① 两个总体都服从二项分布 ② 可以用正态分布来近似
４．两个总体方差之比
一般是将较大的样本方差作为分子，而将较小的方差作为分母，这样都可以用右侧检验的结果来作判断是否拒绝原假设Ｈ０
第七章 方差分析
一、基本问题
１．概念及基本原理
方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法。研究的是分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响的问
２．方差分析所涉及的概念
① 方差分析的种类
单因素方差分析
双因素方差分析
无交互作用的双因素方差分析
有交互作用的方差分析
② 方差分析中误差平方和与均方差
总平方和SST反映全部数据误差大小的平方和
组内平方和SSE(误差项平方和)反映每个样本内部误差大小的平方和，只含有随机误差
组间平方和SSA(水平项平方和)反映了各个样本均值之间误差大小的平方和，既包含随机误差，也含系统误差
三者关系：SST＝SSE＋SSA
３．方差分析中的基本假定
① 每个总体都应服从正态分布；② 各个总体的方差σ²必须相同：③ 观测值是独立的。
二、单因素方差分析
主要分析一个分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响，也就是检验自变量的Ｋ个因素水平（Ｋ个总体）的均值是否相等的问题
１．提出假设Ｈ０：μ１ ＝μ２ ＝… ＝μＫ自变量对因变量没有显著影响Ｈ１：μ１，μ２，…，μＫ不全相等，自变量对因变量有显著影响
２．计算各样本均值、总均值及三个误差平方和
３．构造检验统计量
４．统计决策
若Ｆ＞Ｆα，则拒绝原假设Ｈ0
若Ｆ＜Ｆα，则不拒绝原假设Ｈ0
５．计算关系强度系数/判定系数Ｒ²
６．方差分析中的多重比较
最小显著差异法，LSD
① 提出假设：Ｈ０∶μｉ ＝μｊ，Ｈ１∶μｉ≠ μｊ② 计算检验统计量：Ｘｉ－Ｘｊ③ 计算ＬＳＤ④ 统计决策：根据显著性水平α作出决策，如果abs(Xi-Xj)>LSD，则拒绝H0，说明两均值之间存在显著差异
三、双因素方差分析
１．无交互作用的双因素方差分析
① 提出假设对行因素提出的假设为Ｈ０：μ１ ＝μ２ ＝… ＝μｉ ＝… ＝μｋ（μｉ为第ｉ个水平的均值）Ｈ１：μｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）不全相等对列因素提出的假设为Ｈ０：μ１ ＝μ２ ＝… ＝μｊ ＝… ＝μｒ（μｊ为第ｊ个水平的均值）Ｈ１：μｊ（ｊ＝１，２，…，ｒ）不全相等
② 算四个平方和、三个均方差
③ 构造检验统计量
④ 统计决策
若ＦＲ〉Ｆα，拒绝原假设Ｈ０
若ＦＣ〉Ｆα，拒绝原假设Ｈ０
⑤ 关系强度的测量
联合效应与总平方和的比值定义为Ｒ²
２．有交互作用的双因素方差分析
第八章 一元线性回归
二、相关分析
３．相关系数
总体的相关系数记为ρ，样本相关系数记为ｒ
ｒ＝０，不存在线性相关关系
对称性：ｒｘｙ ＝ｒｙｘ
ｒ数值大小与ｘ和ｙ原点及尺度无关，即改变ｘ和ｙ的数据原点及计量尺度，并不改变ｒ数值大小
４．相关系数的检验
三、一元线性回归
２．相关分析与回归分析的联系与区别
联系：两者研究的对象是一致的，都是现象的相关关系；相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析是相关分析的延伸和深入。区别：① 研究目的的侧重点不同：相关分析侧重于变量之间的关系强度，回归分析侧重于考察变量之间的数量伴随关系。② 研究的测度方法不同：相关分析测度工具主要是计算相关系数；回归分析测度方法是建立变量之间的回归方程。③ 研究的变量地位不同：相关分析两个变量都是随机变量，两者地位是对等的；回归分析中，因变量是随机变量，而自变量是非随机变量，即是确定变量，两者地位是不对等的
４．回归直线的拟合优度
判定系数Ｒ²
５．估计标准误差
６．显著性检验
①线性关系的检验
第１步：提出假设Ｈ０：β１ ＝０Ｈ１：β１≠ ０两个变量之间的线性关系显著
第２步：计算检验统计量Ｆ检验
第３步：作出决策
Ｆ＞ＦαＰ＜α拒绝原假设
② 回归系数的检验
四、回归方程的估计和预测
１．点估计
２．区间估计
五、残差分析
标准化残
根据标准化残差图可以直观地判断误差项ε服从正态分布这一假定是否成立。如果这一假定成立，在标准化残差图中，大约有９５％ 的标准化残差在－２到＋２之间。
第九章 多元线性回归
一、多元线性回归模型与回归方程
多元回归模型
ｙ＝β０ ＋β１ｘ１ ＋β２ｘ２ ＋… ＋βｋｘｋ ＋ε
多元线性回归方程
Ｅ(ｙ) ＝β０＋β１ｘ１＋β２ｘ２＋… ＋βｋｘｋ
二、回归方程的拟合优度
多重判定系数Ｒ²
修正的多重判定系数Ｒ²
修正的多重判定系数Ｒａ²永远小于Ｒ²
估计标准误差
三、显著性检验
１．线性关系的检验
① 提出假设Ｈ０：β１ ＝β２ ＝．．．＝βＫ ＝０；Ｈ１：β１，β２，…，βｋ至少有一个不等于０
③ 作出统计决策若Ｆ ＞Ｆα，则拒绝原假设，说明总体线性关系显著
２．回归系数的检验
① 提出假设Ｈ０：βｉ ＝０（自变量ｘｉ与因变量ｙ没有线性关系）Ｈ１：βｉ≠ ０（自变量ｘｉ与因变量ｙ有线性关系）
③决策：ABS(ｔ)〉ｔα/2，拒绝Ｈ０
回归系数的置信区间
四、多重共线性现象
１．多重共线性的判别
① 模型中各对自变量之间显著相关；② 当模型的线性关系检验（Ｆ检验）在统计上显著相关，但几乎所有回归系数βｉ的ｔ检验却不显著；③ 回归系数的正负号与预期的相反
２．多重共线性的问题处理
① 将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量之间尽可能不相关；② 如果要在模型中保留所有的自变量，那应该避免根据ｔ统计量对单个参数β进行检验；③ 对因变量ｙ值的推断（估计或预测）限定在自变量样本值的范围内。
第十章 时间序列分析和预测
一、时间序列的组成要素
平稳型序列
非平稳型序列
１．长期趋势（Ｔ）
２．季节变动（Ｓ）
３．循环波动（Ｃ）
４．随机变动（Ｉ）
乘法模型/加法模型
二、时间序列的描述性分析
１．图形描述
２．增长率分析(增长速度) 发展速度减１
① 环比增长率
②定基增长率
平均增长率
年度化增长率
增长１％ 绝对值
三、平稳序列的预测 消除其随机波动
简单平均法
移动平均法
；主要适合对较为平稳的序列进行预测
；对于ｋ为偶数时，移动平均需进行二次修正移动，也叫“中心化”处理，以保证预测的序列与原始序列的时期相对应
指数平滑法(一次指数平滑法)
① 只有一个平滑系数
②观察值离预测时期越久远，权数变得越小
选择α时不同的α会对预测结果产生不同的影响。当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的α，以便能很快跟上近期的变化；当时间序列比较平稳时，宜选较小的α还应考虑预测误差。用误差均方来衡量预测误差的大小；确定α时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值。
四、趋势序列的预测
１．线性趋势预测
① 对得出的线性趋势方程及参数，还应当用前面介绍的检验方法，对线性回归方程去检验其统计显著性。
② 通过趋势方程可以计算出各期的预测值，并通过这些预测值来分析序列的变化趋势及其模型，也可以进行外推预测。
③ 上述求ｂ和ａ公式有简捷法，也称“零点法”；
④ 趋势预测的误差可用回归中的估计标准误差来衡量
２．非线性趋势预测
① 抛物线型（二次曲线）
Ｙ＾ｔ ＝ａ＋ｂｔ＋ｃｔ²
② 指数曲线型
当现象的长期趋势每期大体上按相同的增长速度递增或递减变化时，可拟合为指数曲线方
五、季节变动分析
目的
：一是掌握季节变动规律，为当前的决策提供依据
；二是对未来现象季节变动作出预测，以便提前作出合理安排
；三是消除季节变动对时间序列的影响，以便更好地分析其它因素。
１．原始资料平均法
对原始时间序列不剔除长期趋势影响，直接计算季节指数的方法
２．趋势－循环剔除法
六、循环变动分析
一是从数量上揭示事物循环变动的规律性
二是研究不同事物周期性波动的内在联系及循环波动原因
三是通过对循环规律的认识对事物的发展作出科学的预测，
１．直接法
２．剩余法
