描述统计

描述统计思维导图。该导图介绍了数据分布特征的测度分为三个方面、集中趋势的测度、离散程度的测距等等，供您参考。

第二十四章描述统计

• 数据分布特征的测度分为三个方面
  • 分布的集中趋势
    • 反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度
  • 分布的离散程度
    • 反映各数据之间的差异程度，也能反映中心值对数据的代表程度
  • 分布的偏态
    • 反映数据分布的不对称性
• 集中趋势的测度★
  • 均值
    • 是数据组中所有数值的总和除以该组数值的个数
      • 也称平均数
    • 均值是集中趋势最主要的测度值，它是一组数据的重心所在，解释了一组数据的平均水平
    • 它主要适用于数值型数据，但不适用于分类和顺序数据
  • 中位数
    • 把一组数据按从小到大或从大到小的顺序进行排列，位置居中的数值叫作中位数
    • 中位数是一个位置代表值，主要用于顺序数据和数值型数据，但不适用于分类数据。中位数的优点是不受极端值的影响，抗干扰性强，尤其适于收入这类偏斜分布的数值型数据
  • 众数
    • 指一组数据中出现次数(频数)最多的变量值
    • 众数适用于描述分类数据和顺序数据的集中趋势。不适用于描述定量数据的集中位置
  • 均值、中位数和众数的比较及适用范围
    • 均值适用于定量变量
      • 优点是能够充分利用数据的全部信息，均值大小受每个观测值的影响，比较稳定。缺点是易受极端值的影响，如果观测值中有明显的极端值，则均值的代表性较差
    • 中位数不适于分类变量，适于顺序变量和定量变量，特别是分布不对称的数据
      • 优点是不受极端值的影响。缺点是没有充分利用数据的全部信息，稳定性差于均值，优于众数
    • 众数不适用于定量变量，主要适用于分类和顺序变量
      • 优点是不受极端值的影响，尤其是分布明显呈偏态时，众数的代表性更好。缺点是没有充分利用数据的全部信息，缺乏稳定性，而且可能不唯一
    • • 例：某售货小组有5名营业员，元旦全天的销售额分别为520元、600元、480元、750元和500元， 求该日平均销售额
• 离散程度的测度★
  • 离散程度反映的是数据之间的差异程度
  • 集中趋势的测度值是对数据水平的一个概括性的度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平
    • 数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好
  • 方差
    • 方差是数据组中各数值与其均值离差平方的平均数，它能较好的反映出数据的离散程度，是实际中应用最广泛的离散程度测度值
      • 对于总体数据，常用的方差有
      • 对于样本数据，常用的方差有
      • N为总体规模，n为样本规模
    • 方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好
  • 标准差
    • 标准差即方差的平方根，常用标准差来测度数据的离散程度
    • 标准差不仅能度量数值与均值的平均距离，还与原始数值具有相同的计量单位。标准差与方差是应用最广泛的统计离散程度的测度方法
    • 标准差与方差只适用于数值型数据，他们与均值一样，对极端值也很敏感
    • • 沿用上例
  • 离散系数
    • 也称变异系数或标准差系数，即标准差与均值的比值，主要用于不同类别数据离散程度的比较，记为CV
    • 标准差的大小不仅与数据的测度单位有关，也与观测值的均值大小有关，不能直接用标准差比较不同变量的离散程度。离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响，可以直接用来比较变量的离散程度
    • • 沿用上例
• 变量间的相关分析
  • 按相关的程度
    • 完全相关
      • 当一个变量的取值变化完全由另一个变量的取值变化所确定时，称这两个变量间的关系为完全相关
    • 不完全相关
      • 两个变量之间的关系介于完全相关和不相关之间
    • 不相关
      • 两个变量的取值变化彼此互不影响
  • 按相关的方向
    • 正相关
      • 同向变化
    • 负相关
      • 反向变化
  • 按相关的形式
    • 线性相关
      • 当两个相关变量之间的关系大致呈现为线性关系时，称为线性相关
    • 非线性相关
      • 两个相关变量之间，并不表现为直线的关系，而是近似于某种曲线方程的关系则为非线性相关
  • 散点图
    • 图a的点几乎无规律可言，表示这两个变量不相关。 图b和图c中，观测点密集在一条直线周围，表现为较强的线性相关，但相关的方向不同。图b中的两个变量为正相关关系，图c的两个变量为负相关关系。 图d中的观测点呈现出曲线模式，表示两个变量为曲线非线性相关
  • 相关系数
    • 相关系数是度量两个变量之间相关关系的统计量。最常用的相关系数是Pearson相关系数，它度量的是两个变量间的线性相关关系
    • Pearson相关系数只适用于线性相关关系的判断
    • 取值范围
      • Pearson相关系数的取值范围在+1和-1之间。若0<r≤1，表明变量X和Y之间存在正线性相关关系，若-1≤r<0，表明变量X和丫之间存在负线性相关关系。若r=1，表明变量X和Y之间为完全正线性相关，若r=-1，表明变量X和Y之间为完全负线性相关。可见，当|r|=1时，变量Y的取值完全依赖于X；当r=0时，说明Y和X之间不存在线性相关关系
      • 根据经验可将相关程度分为以下几种情况：当|r|≥0.8时，可视为高度相关；当0.5≤|r|<0.8时，可视为中度相关；当0.3≤|r|<0.5时，可视为低度相关；当|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为无线性相关关系
• 分布形态的测度
  • 偏态系数
    • 偏度是指数据分布的偏斜方向和程度，描述的是数据分布对称程度。测度数据分布程度的统计量为偏态系数
    • 偏态系数取决于离差三次方的平均数与标准差三次方的比值。偏态系数的绝对值越大，说明数据分布的偏斜程度越大
      • 如果偏态系数等于0，说明数据的分布是对称的；如果偏态系数为正值，说明分布为右偏的，取值在0～0.5之间说明轻度右偏，取值在0.5~1之间说明中度右偏，取值大于1说明严重右偏；如果偏态系数为负值，说明分布为左偏，取值说明同右偏相反
  • 标准分数
    • 也称为Z分数，是统计上常用的一种标准化方法，转变后的标准分数并没有改变数值在原分布中的位置，也没有改变数据分布的偏度，但是标准分数的平均数为0，标准差为1。计算方法是用数值减去均值所得的差除以标准差
    • 在统计上，均值和标准差不同时，不同变量的数值是不能比较的。但是每个数值在变量分布中相对于均值的相对位置是可比的，因此可通过计算标准分数来比较不同变量的取值。标准分数可以给出数值距离均值的相对位置，计算方法是用数值减去均值所得的差除以标准差
    • 对于服从对称的钟形分布的标准分数，68%的标准分数在[-1，+1]范围内，约有95%的标准分数在[-2，+2]范围内，约有99%的标准分数在[-3，+3]范围内
• 2020年考试大纲：理解数据特征测度，掌握集中趋势的测度指标、离散趋势的测度指标、分布形态的测度指标以及变量间关系的测度指标的计算方法，辨别常用测度数据。