复变函数

这是一个关于复变函数的思维导图，总结了解析函数、解析延拓、留数理论、复变函数级数、解析函数积分等内容。

复变函数

• 解析函数
  • 复数及其运算
    • 共轭复数
      • 模和辐角
    • 复球面或黎曼球面
    • 复数运算规则
  • 复变函数
    • • 单值函数
      • 多值函数
    • 区域
      • 邻域
      • 内点
      • 全由内点构成，其中任意两点可由直线连接
    • 极限与连续性
      • 极限存在必然唯一
  • 微商及解析函数
    • 微商及微分
    • 柯西黎曼条件
      • • 是可导的必要条件
        • 充分条件还要满足u，v在z点有连续一阶偏微商
    • 解析函数及物理解释
      • f在z点及其邻域均可导，则在z点解析，若不解析则为奇点
      • 若f在区域内处处可导，则f在区域内解析，或称f为区域内解析函数
      • • 调和函数
  • 初等解析函数
    • 幂函数
      • 多项式函数在复平面上解析
      • 有理函数在复平面上除分母为零处解析
    • 指数函数
    • 三角函数
      • 不再小于1
        • 在复平面上解析
    • 双曲函数
    • 根值函数
      • 为多值函数
    • 对数函数
    • 一般幂函数
    • 一般指数函数
  • 解析函数几何性质
    • 单叶变换定理
      • 若f是区域内解析函数，且导数不为零，则其构成区域内一一对应的变换，并称这变换为域内的单叶变换
    • 导数几何意义
    • 保角变换
      • 解析函数在导数不为零的各点实现保角变换
    • 保角变换性质
      • 拉普拉斯方程在保角变换下仍为新坐标平面w中的泊松方程
• 解析延拓
  • 解析延拓
    • 解析延拓
      • 零点
        • f(z)在z0的某个邻域内恒为零
        • 存在z0的某个邻域，在该邻域内z0为f(z)的唯一零点
    • 解析延拓的唯一性
  • γ函数
    • 第二类欧拉积分
  • β函数
    • 第一类欧拉积分
• 留数理论
  • 留数定理
    • 留数定理
      • 一个n阶极点
    • 无穷远点的留数
      • • 全平面留数之和为零
    • 留数计算方法
      • 在奇点去心邻域将函数展开成洛朗级数，取负一次幂的系数（对于无穷远点要反号）
      • 当奇点为极点时
  • 利用留数理论计算实积分
    • 无穷积分
      • 实轴上无奇点
      • 上半平面除了有限个奇点处处解析
    • 含有三角函数的积分
      • f在实轴上无奇点
      • 上半平面除有限个奇点外处处解析
      • 包括实轴的上半平面，
    • 三角函数有理式的积分
  • 物理问题中的几个积分
    • 狄利克雷积分
    • 菲涅耳积分
    • 热传导中的积分
  • 多值函数的积分
    • 欧拉积分
    • 含对数积分
• 复变函数级数
  • 复级数
    • 复数项级数
      • • 则有级数收敛与F，F为级数的和
      • 柯西收敛判据
      • 绝对收敛级数任意交换各项的次序，所得级数仍绝对收敛且其和不变
      • 两个觉得收敛的级数可逐项相乘，且级数仍绝对收敛
      • 比值判别法（达朗贝尔）
      • 根式判别法（柯西）
      • 高斯判别法
    • 复变函数项级数
      • 级数在区域内一致收敛于F(z)
      • 一致收敛
        • 连续性
        • 逐项可积性
        • 逐项可导性（威尔斯特拉斯定理）
        • M判别法
  • 幂级数
    • 幂级数的收敛性
      • 阿贝尔定理
        • 内部绝对收敛
    • 收敛圆和收敛半径
    • 性质
  • 泰勒级数
    • 泰勒定理
    • 收敛范围
      • a是f离展开中心b点最近的奇点，则R=|a-b|
    • 展开方法
  • 洛朗级数
    • 洛朗级数收敛性定理
      • 负数项幂是洛朗级数主要部分
    • 洛朗定理
    • 收敛范围
    • 展开方法
      • 一般利用已知公式获得洛朗展开
  • 单值函数的孤立奇点
    • 函数的奇点
      • 孤立奇点
      • 非孤立奇点
        • 在z=b无论多小的邻域内，总有除此以外的奇点
    • 孤立奇点的分类
      • 可去奇点
        • f（z）在b点没有主要部分
        • 极限存在并且有限
        • f（z）在b的某去心邻域内有界
      • m阶极点
        • 主要部分有限
      • 极点
        • 极限为无穷
      • 本性奇点
        • 主要部分有无限项负幂
        • 极限不存在
    • 无穷远点的性质
      • • 可去奇点
          • 洛朗展开不含正幂
        • m阶极点
          • 无穷远点洛朗展开有有限项正幂
        • 本性奇点
          • 有无穷项正幂
• 解析函数积分
  • 复变函数积分
    • 复变函数积分的定义
    • 复积分的存在条件及计算方法
      • f（z）在l上连续，曲线l分段光滑，复积分就存在且由上式
    • 复积分的性质
      • 同积分
  • 柯西定理
    • 单连通区域的柯西定理
    • 不定积分
    • 柯西定理的推广
      • 包含边界条件
    • 复连通区域柯西定理
  • 柯西积分公式
    • 柯西公式
      • 可推广到复连通区域
    • 无界区域的柯西公式
    • 柯西公式的几个推论
      • 解析函数任意阶导数
        • 在区域内解析，则任意阶可导
      • 柯西型积分和含参量的积分
      • 柯西不等式
      • 刘维尔定理
      • 模数定理
        • |f（z）|只能在边界l上取得最大值
      • 中值定理
      • 摩勒那定理
        • f在区域内连续，且对其内部任意围线积分为零，则f在区域内解析