级数2

这是一篇关于级数的思维导图，包括常数顶级数、正顶级数、交错级数、幂函数、傅里叶级数等内容，十分详细。

级数

• 常数项级数
  • 性质
    • 子主题
  • 几种特殊的常数项级数
    • 几何级数（等比级数）
      • |q|<1时收敛，合为1/(1+q)
      • |q|>1时发散
    • -p级数
      • p>1收敛
      • p<=1发散
• 正项级数
  • 审敛法
    • 比较判别法~~跟别个比
      • 一般形式：
      • 极限形式：
    • 比值审敛法~~跟自己比
      • （后一项和前一项比值的极限和1比较，小收大发）
    • 根值审敛法
      • （连续开根号，跟1比，小收大发）
  • 判断正项级数敛散性方法与步骤
    • 先判断末项极限是否为零
    • 再用比值或根值审敛法判断敛散性
• 交错级数
  • 审敛
    • 莱布尼兹判别法：（n项级数为0，且除un递减）
  • 条件收敛和绝对收敛
    • 绝对收敛（加绝对值收敛）
    • 条件收敛（本收敛，加绝对值后不收敛)
• 傅里叶
  • 级数可化为：
    • 公式：
  • 审敛
    • f(x)满足荻利克雷条件，则f(x)傅里叶展开收敛
      • 荻利克雷条件
        • 一个周期内连续或有有限个第一类间断点
        • 一周期内，有有限个极值点
  • 正弦函数与余弦函数
    • 以2l为周期的周期函数f(x)，在【-l,l】上逐段可微，则f(x)的傅里叶级数收敛于(f(x-0)+f(x+0))/2;
      • 正弦函数：f(x)为奇函数时，其傅式级数为（n从0开始）
        • • f(x)奇正，an=0，bn倍
      • 余弦函数：f(x)为奇函数时，其傅式级数为（n从0开始）
        • • f(x)偶余，bn=0,an倍
• 展开
  • 几个常用的展开
    • e^x
    • sinx
    • cosx
    • （1+x)^m
• 幂函数
  • 审敛
    • 幂函数一般是在一个连续的范围内收敛，而其余区域发散，即中间收，两边发；重要的便是求收敛半径。
      • 1）求收敛半径：（前一项与后一项比值的极限）
      • 2）确定收敛域：
      • 若是级数为......(x-k)^n；则应利用换元法，使(x-k)^n=t^n;再代回求收敛域的方法，求出t的收敛半径为（-R,R)，则x的收敛半径为（-R+t,R+t).
  • 求和
    • 在收敛域内，对函数逐次求导，或积分，使其变为等比级数的形式。
    • 利用等比级数的求和公式，求出其和
    • 再把和函数积分或求导，求出幂函数的和
• 浮动主题
• 一句话：大收小亦收，小发大亦发