最强 数值分析(全部知识点和考试重点)

整理的来源主要有慕课上东北大学的国家精品课程(前几章主要根据此内容整理), 东南大学老师上课的课件内容(后几章主要根据此内容整理), 还有东南大学老师出的那本数值分析课本上的内容(孙志忠版本的)。

目录

• 1.绪论
  • 1.数值分析研究的对象和内容
  • 2.误差的来源和分类
  • 3.有效数字
  • 4.数值计算中若干原则
• 2.解线性方程组的直接方法
  • 1.顺序Gauss消去法
  • 2.列主元Gauss消去法
  • 3.矩阵三角分解法
  • 4.Doolittle直接三角分解法
  • 5.平方根法
  • 6.追赶法
  • 7.向量的范数
  • 8.矩阵的范数
  • 9.线性方程组固有性态与误差分析
  • 10.条件数的定义及计算
  • 11.事后误差估计和迭代改善
• 3.解线性方程组的迭代法
  • 1.迭代法的基本思恕
  • 2.Jacobi与Gauss-Seidel迭代法
  • 3.逐次超松弛迭代法-SOR方法
  • 4.迭代法的收敛性
  • 5.迭代法收敛的充分条件
  • 6.特殊方程组迭代法的收敛性
• 4.非线性方程求根
  • 1.非线性方程简介
  • 2.二分法
  • 3.简单迭代法
  • 4.局部收敛性
  • 5.收敛阶的定义
  • 6.P阶收敛的迭代法
  • 7.加速的迭代法
  • 8.牛顿迭代法
  • 9.牛顿迭代法的收敛分析
  • 10.牛顿下山法
  • 11.牛顿下山法的变形
  • 12.求重根的牛顿迭代法
• 8.偏微分方程数值解法
  • 1.三种类型
  • 2.有限差分法
  • 3.抛物型方程的差分解法
  • 4.差分格式的稳定性
  • 5.差分格式的收敛性
  • 6.双曲型方程的差分解法
  • 7.椭圆型方程的差分解法
• 7.常微分方程数值解法
  • 1.一阶常微分方程初值问题
  • 2.构造数值解法基本思想
  • 3.欧拉Euler方法
  • 4.Runge-Kutta方法
  • 5.单步法的收敛性和稳定性
  • 6.线性多步法
• 6.数值积分与数值微分
  • 1.数值积分的基本概念
  • 2.插值型数值求积公式
  • 3.Newton-Cotes求积公式
  • 4.求积公式的代数精度
  • 5.求积公式的稳定性
  • 6.低阶求积公式截断误差表达式
  • 7.复化求积公式
  • 8.复化求积公式的阶
  • 9.Romberg求积公式
  • 10.Richardson外推方法
  • 11.正交多项式
  • 12.Gauss型求积公式
  • 13.常用Gauss型求积公式
  • 14.差商型数值微分
  • 15.插值型数值微分
• 5.插值与逼近
  • 1.插值问题
  • 2.Lagrange插值
  • 3.差商的定义及性质
  • 4.牛顿插值多项式及余项
  • 5.分段低次插值
  • 6.分段HERMITE插值多项式
  • 7.三次样条插值
  • 8.最佳一致逼近
  • 9.最佳平方逼近

数值分析

• 1.绪论
  • 1.数值分析研究的 对象和内容
  • 2.误差的来源和分类
    • 1.来源
      • 1.模型误差
        • 数学模型通常是由实际问题抽象得到的,一般带有误差
      • 2.观测误差
        • 数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的,难免带有误差
      • 3.截断误差
        • 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法
      • 4.舍入误差
        • 由于计算机只能对有限位数进行运算
      • 主要研究
    • 2.分类
      • 1.绝对误差
        • 设x是精确值x*的一个近似值,记e=x*-x,称e为近似值x的绝对误差,简称误差
      • 2.绝对误差限
        • 如果ε满足|e|≤ε则称ε为近似值x的绝对误差限,简称误差限
        • 精确值x* 、近似值x和误差限ε之间满足： x-ε≤x*≤x+ε通常记为 x*=x±ε
      • 3.相对误差
      • 4.相对误差限
      • 技巧
        • 1.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位
  • 3.有效数字
    • 1.定义
      • 设数x是数x*的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位,则称这n个数字为x的有效数字,也称用x近似x*时具有n位有效数字
    • 2.求法
    • 3.例题
    • 4.与相对误差
  • 4.误差对函数值的影响
    • 1.一元函数y=f(x)
    • 2.二元函数y=f(x1,x2)
    • 3.和,差,积,商误差估计式
    • 4.例题
  • 5.数值稳定问题
    • 1.稳定性定义
      • 设一个算法,若初始数据有小的误差仅使最终结果产生小的误差,则称该算法是数值稳定的,否则称为数值不稳定的
    • 2.病态问题
      • 对数学问题本身而言,如果输入数据有微小扰动,输出数据（即数学问题的解）也只 有微小变化,则称数学问题是好条件的（良态的）,否则称为坏条件的（病态的）
  • 6.数值计算中若干原则
    • 1.避免两个相近的数相减
      • 相对误差有可能很大,可考虑改变一下算法以避免两数相减,若找不到适当方法代替,只能在计算机上采用双倍字长计算,以提高精度
    • 2.防止大数“吃掉”小数
      • 因为计算机上只能采用有限位数计算,在求和或差的过程中应采用由小到大的运算过程
    • 3.绝对值太小的数不宜作除数
      • 由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现象,可能导致商的绝对误差很大 计算结果对分母的扰动很敏感,而且通常是近似值, 所以计算结果不可靠
    • 4.注意简化计算程序 减少计算次数
      • 1.首先,若算法计算量太大,实际计算无法完成,其次,即使是可行算法,则计算量越大积累的误差也越大
      • 2.秦九韶算法
    • 5.选用数值稳定性好的算法
      • 一种数值算法,如果其计算舍入误差积累是可控制的,则称其为数值稳定的,反之称为数值不稳定的
• 2.解线性方程组的直接方法
  • 1.顺序Gauss消去法
    • 1.直接解法
      • 若不考虑计算过程中的舍入误差,经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法
    • 2.Gauss消去法
      • 一种规则化的加减消元法,其基本思想是通过不断进行行变换逐次消元计算, 把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解
    • 3.顺序Gauss消去法
      • 1.步骤
      • 2.运算量
      • 3.主元素
  • 2.列主元Gauss消去法
    • 1.原因
      • 为了提高计算的数值稳定性,在消元过程中采用选择主元的方法.常采用的是列主元消去法和全主元消去法
    • 2.步骤
    • 3.条件
      • 易证,只要|A|≠0,列主元Gauss消去法就可顺利进行
    • 4.与全主元对比
      • 列主元Gauss消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元素. 全主元Gauss消去法是在每一步消元前,在所有元素中选取绝对值最大的元素作为主元素.但由于运算量大增,实际应用中并不经常使用
    • 5.注意
      • 1.若A对称正定或严格对角占优，则按 Gauss消去法稳定，不需要选主元
      • 2.列主元Gauss消去法运算量除选主元和行交换外和Gauss消去法相当
  • 3.矩阵三角分解法
  • 4.Doolittle直接三角分解法
    • 1.步骤
      • 先根据Ly=b,求解出y,再根据Ux=y,求解出x
    • 2.优点
      • 解线性方程组Ax=b的Doolittle三角分解法的计算量约为 （1/3)n^3,与Gauss消去法基本相同.其优点在于求一系列同系数 的线性方程组Ax=bk ,(k=1,2,…,m)时,可大大节省运算量
  • 5.平方根法
    • 1.定义
      • 设A为对称正定矩阵,分解A=GGT称为对称正定矩阵的Cholesky分解
    • 2.求解
    • 3.优点
      • 平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法,对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的LU分解的一半. 且Cholesky分解具有数值稳定性.且不需要选主元
  • 6.追赶法
    • 1.定义
      • 追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法,A=LDM=TM,称之为矩阵A的Crout分解
    • 2.求解
    • 3.例题
  • 7.向量的范数
    • 1.定义
      • 1.向量范数
        • 是三维欧氏空间中向量长度概念的推广,在数值分析中起着重要作用
      • 2.数量积
    • 2.满足条件
      • 证明一个实值函数是否为向量范数,只需证明它是否满足上述3个条件
    • 3.常用范数
    • 4.范数的等价性
    • 5.结论
      • 如果在一种范数定义下向量序列收敛时,则在任何一种范数意义下该向量序列均收敛
    • 6.收敛性
    • 7.连续性
    • 8.距离
  • 8.矩阵的范数
    • 1.定义
    • 2.满足条件
    • 3.常用范数
      • 例题
    • 4.矩阵算子范数
    • 5.谱半径和相容范数
      • 矩阵的任一范数可以作为矩阵特征值的上界
    • 6.对称矩阵
    • 7.等价性
    • 8.收敛性
    • 8.1收敛条件
    • 9.距离
  • 9.病态方程
    • 1.定义
      • 1.如果矩阵A或常数项b的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大变化
    • 2.判断
      • 1.对于方程组Ax = b,其中A非奇异.如果A的条件数很大,则称该方程组为病态（坏条件）方程组;如果A的条件数比较小，则称该方程组为良态（好条件）方程组.
    • 3.其他方式
      • 1.用列主元Gauss消去法时出现绝对值很小的主元.
      • 2.系数矩阵某些行(列)近似线性相关.
      • 3.系数矩阵元素间数量级相差很大，且没有一定规律
    • 4.改善
  • 10.条件数
    • 1.条件数定义
    • 2.常用条件数
  • 11.方程组近似解 可靠性的判别
    • 1.思想
    • 2.定理
    • 3.证明
      • 写出两个等式,取范数之后用三角不等式放缩,最后相除即可
    • 4.限制
      • 若cond(A)很大,则即使||r||很小,相对误差限仍可能很大,因此用余量r的大小来检验近似解的准确程度的办法仅对良态方程组适用,对于病态方程组是不可靠的。
• 3.解线性方程组的迭代法
  • 1.迭代法的基本思恕
    • 1.思路
    • 2.优点
      • 计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵的方程组
    • 3.过程
  • 2.Jacobi与 Gauss-Seidel迭代法
    • 1.Jacobi迭代法
      • 1.公式
      • 2.分量形式
      • 3.矩阵形式
    • 2.Gauss-Seidel 迭代法
      • 1.公式
      • 2.分量形式
      • 3.矩阵形式
  • 3.逐次超松弛迭代法-SOR方法
    • 1.公式
    • 2.矩阵形式
  • 4.迭代法的收敛性
    • 1.基本定理
    • 2.定理
  • 5.Jacobi迭代的收敛性
    • 1.J的特征方程
    • 2.例题
    • 3.定理
  • 6.Gauss-Seidel迭代的收敛性
    • 1.G的特征方程
    • 2.例题
    • 3.定理
      • G至少有一个特征值为0
• 4.非线性方程求根
  • 1.非线性方程简介
  • 2.二分法
    • 1.有根区间
      • 设f(x)在区间[a, b]上连续且f(a)f(b)<0,根据连续函数的介值定理,区间[a, b]上必有方程f(x)=O的根,称[a, b]为方程f(x)=0的有根区间。
    • 2.二分法
      • 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法
  • 3.简单迭代法
    • 1.构造
    • 2.过程
    • 3.举例
  • 4.收敛性
    • 1.收敛定理
    • 2.局部收敛性
      • 1.定义
      • 2.定理
  • 5.收敛速度
    • 1.P阶收敛
      • 特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛
    • 2.迭代次数
  • 6.收敛阶的定义
  • 7.加速的迭代法
  • 8.牛顿迭代法
    • 1.原理
      • 将非线性方程线性化—— Taylor 展开
    • 2.过程
    • 3.公式
    • 4.几何意义
  • 9.牛顿迭代法的 收敛分析
    • 1.局部收敛性
      • Newton迭代法对单根至少是2阶局部收敛，对重根是1阶局部收敛
    • 2.收敛证明
      • 先假设x*为m重根写出f(x)=(x-x*)^m g(x),求出f'(x),代入到牛顿法N(x)中得到N(x*)=x*,最后再用导数定义法求出N'(x*),化简为1-1/m
  • 10.牛顿下山法
  • 11.牛顿迭代法的变形
    • 1.割线法
      • 用差商代替导数,避免计算导数值,简化计算
  • 12.求m重根的牛顿迭代法
    • 1.m已知的修正牛顿法
    • 2.m未知的修正牛顿法
  • 13.大范围收敛
    • 1.条件
    • 2.结论
    • 3.例题
• 5.插值与逼近
  • 1.插值问题
    • 1.定义
    • 2.几何意义
    • 3.存在唯一
    • 4.证明
  • 2.Lagrange插值
    • 1.一次线性插值
    • 2.二次抛物插值
      • 1.定义
      • 2.满足条件
      • 3.基函数
      • 4.例题
    • 3.n次Lagrange插值
      • 1.定义
      • 2.基函数
      • 3.简化
      • 4.优点
        • Lagrange插值多项式结构对称简单而优雅, 只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式,易于计算机上实现
    • 4.n次Lagrange插值余项
      • 1.近似程度
      • 2.定理
      • 3.有上届
      • 4.例题
  • 3.差商的定义及性质
    • 1.一阶差商
    • 2.二阶差商
    • 3.k阶差商
    • 4.零阶差商
    • 5.差商表
    • 例题
    • 6.差商性质
    • 例题
  • 4.牛顿插值多项式及余项
    • 1.n次Newton插值多项式
    • 2.n次Newton插值余项
    • 3.插值的唯一性
    • 4.两者比较
      • 1.牛顿插值多项式等价于拉格朗日插值多项式 拉格朗日有个致命缺陷,当结点发生改变时,整个之前的运算需要推倒重来
      • 2.与拉格朗日插值余项相比，牛顿插值余项更具一般性，它对f是由离散点给出的情形或者f导数不存在时候均试用
    • 例题
  • 4.1 Hermite插值
    • 0.思想
    • 1.定义
    • 2.余项
  • 4.2 牛顿型 Hermite插值
    • 1.重节点差商
    • 2.线性插值公式
    • 3.m次插值公式
    • 4.m次插值余项
    • 例题
  • 5.分段低次插值
    • 1.Runge现象
    • 2.分段线性插值
      • 1.公式
      • 2.余项
      • 3.余项上限
      • 例题
        • 在不同的范围中,计算有效数字时的m是不同的,所以要分段讨论结果
  • 6.分段HERMITE插值多项式
  • 7.三次样条插值函数
    • 1.定义
    • 2.已知方程解法
      • 1.已知方程
      • 2.求解
      • 3.边界条件
        • 1.第一型边值条件
        • 2.第二型边值条件 自然边界条件
        • 3.第三型边值条件
      • 例题
    • 3.已知二阶导数值 二次积分解法
      • 0.条件
      • 1.设点斜式
      • 2.一次积分
      • 3.二次积分
      • 4.求Cj
      • 5.得S(x)
      • 6.三弯矩求M
        • 太复杂
  • 8.最佳一致逼近
    • 1.线性赋范空间
      • 1.线性无关
      • 2.基函数
      • 3.C[a,b]
      • 4.定义
      • 5.距离
      • 6.常见范数
    • 2.最佳逼近元
    • 3.最佳一致逼近多项式
    • 4.偏差点 (极值点)
    • 5.特征定理
    • 6.求解方法
      • 必须先确定f(x)的二阶导数在区间内是保号的,再设3个偏差点列等式,正负相间,一阶导数=0
      • 求两个函数的误差直接代入其中一个偏差点即可,就是最大误差
    • 例题
    • 7.推论
    • 8.缺点
      • 1.求交错偏差点解非线性方程组困难
      • 2.对于那些仅在个别小区间段上变化较大的函数，最佳 一致逼近不能很好反应真实情况
  • 9.最佳平方逼近
    • 1.内积空间
    • 2.正交
    • 3.不同内积
    • 4.不等式
    • 5.最佳平方逼近
    • 6.正规方程组 法方程组
    • 7.三个应用
      • 1.连续函数的 最佳平方逼近
      • 2.超定方程组 的最小二乘解
      • 3.离散数据的 最佳平方逼近 (最小二乘拟合)
• 6.数值积分与数值微分
  • 1.数值积分的基本概念
    • 1.定义
    • 2.机械求积法
      • 数值积分的关键是求积节点的选取和确定相应的求积系数
  • 2.插值型求积公式
    • 1.定义
    • 2.误差
  • 3.Newton-Cotes求积公式
    • 1.定义
    • 2.矩形公式
    • 3.梯形公式1
    • 4.Simpson公式3
  • 4.求积公式的代数精度
    • 1.定义
      • 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但至少对一个m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度
      • 求积公式至少具有n次代数精度充分必要条件是该公式为插值型的
    • 2.判断方法
    • 例题
      • 次方较高时,只判断最高次方的系数即可
  • 5.求积公式的稳定性
  • 6.低阶求积公式 截断误差表达式
    • 1.梯形公式
    • 2.Simpson公式
  • 7.复化求积公式
    • 1.基本思想
      • 将区间[a , b]分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式
    • 2.公式
    • 3.复化梯形公式
    • 4.复化Simpson公式
  • 8.复化求积公式的阶
  • 9.Romberg求积公式
  • 10.Richardson外推方法
  • 11.正交多项式
  • 12.Gauss型求积公式
    • 1.思想
      • 前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式，其特征 是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复化求积 公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。 n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n
      • 适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是 Gauss求积公式
    • 2.定义
      • 若求积公式的代数精度为（2n＋1），则称该求积公式为Gauss－Legendre公式（简称Gauss公式）,相应的求积节点为Gauss点
    • 3.两种方式
      • 1.待定系数法
      • 2.利用正交多项式构造Gauss求积公式
    • 4.高斯公式
      • 1.单点
      • 2.两点
      • 3.截断误差
  • 13.常用Gauss型求积公式
  • 14.差商型数值微分
    • 1.一阶向前差商公式
    • 2.一阶向后差商公式
    • 3.中心差商公式
    • 4.几何意义
    • 5.截断误差
      • 利用泰勒展开式进行截断误差推导
  • 15.插值型数值微分
• 7.常微分方程数值解法
  • 1.一阶常微分方程初值问题
    • 1.一般形式
    • 2.初值问题
      • 上述问题之所以称为初值问题, 是因为在很多数学模型中变量x代表时间,而定解条件y(a)=η给出了函数y(x)在初始时刻的取值
    • 3.唯一解
    • 4.研究数值解法
      • 在《高等数学》等课程中同学们已经学习了一些方法来求初值问题的解析解, 但只限一些特殊形式的常微分方程. 对于大量来源于实际问题的常微分方程, 其精确解很求出或者不能用初等函数表示(譬如例1). 因此研究常微分初值问题的近似解法就显得十分必要
  • 2.构造数值解法基本思想
    • 1.总假设
    • 2.离散化方法
    • 3.差分公式的导出
      • 我们采用数值积分方法来建立差分公式.在区间[xn,xn+1]上对方程(1)中的微分方程两端同时做积分,则有
      • 对(2)式右边的积分应用不同的数值积分公式做逼近, 会得到相应不同的差分公式
    • 4.常用数值积分公式
      • 由数值积分的有关知识可知, 上述几个公式中梯形公式和中矩形公式的精度较高
  • 3.欧拉Euler方法
    • 1.Euler公式
      • 0.特点
        • 1阶单步显式公式,积分用 左矩形公式 代替
        • 单步: 后一个点的结果只用到前面一个点的结果
        • 显式: 后一个点的结果没有用到此点本身的结果
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差 单步误差
        • 1.定义
          • 后项 - 前项
        • 2.方法
          • 1.根据推导公式直接得到结果
          • 2.泰勒展开式
          • 3.在yn=y(xn)的假设下
        • 3.整体阶比单步阶少1
          • 如果单步差分公式的局部截断误差为O(h^p+1), 则称该公式为p阶方法
      • 3.几何意义
    • 2.后退Euler公式
      • 0.特点
        • 1阶单步隐式公式,积分用 右矩形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 3.梯形公式
      • 0.特点
        • 2阶单步隐式公式,积分用 梯形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 4.改进Euler公式
      • 0.特点
        • 2阶单步显式公式,将梯形公式中的隐式Yi+1用显式的欧拉公式预测
      • 1.预测校正系统
      • 2.公式
      • 3.局部截断误差
    • 5.Euler中点公式 双步Euler公式
      • 0.特点
        • 多步显式公式,在区间[Xn-1,Xn+1]上的积分用 中矩形公式
      • 1.公式
      • 2.注意
        • 这类多步方法需要更多的初值信息. 以Euler中点公式为例, 它不能直接计算y1的值, 而需要其他方法来提供起始值y1
    • 6.性能比较
  • 4.Runge-Kutta方法
    • 1.基本思想
      • 用多个点斜率的线性组合作为K*,使其精度提高
    • 2.r级Runge-Kutta方法
      • 1.公式
      • 2.确定参数
        • 使近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开氏与y(x)在xi处的Taylor展开式的前面项尽可能多地重合
      • 3.r取不同值
  • 5.单步法的收敛性 和稳定性
    • 1.收敛性
    • 2.稳定性
  • 6.线性多步法
    • 1.基本思想
      • 单步法在计算yi+1时,只用到前一步的信息yi,如何通过较多地利用前面的已知信息, 如yi,yi－1,...,y0 ,来构造高精度的算法计算yi+1。
      • 用若干节点处的 y 及 y’ 值的线性组合来近似 y(Xn+1)。
    • 2.基于数值积分 的构造方法
      • 1.基本思想
        • 首先将初值问题化成等价的积分形式,用过某些节点做f(x,y(x))的r次插值多项式Pr(x)代替f(x,y(x))求积分,即得r+1阶的线性多步公式
      • 2.Adams显式公式
        • 0.特点
          • r+1步r+1阶,以Xi,Xi-1,...,Xi-r为插值节点做f(x,y(x))的r次插值多项式
        • 1.公式
          • βrj就是拉格朗日积函数再做积分
        • 2.局部截断误差
      • 3.Adams隐式公式
        • 0.特点
          • r步r+1阶,以Xi+1,Xi,...,Xi-r+1为插值节点做f(x,y(x))的r次插值多项式
        • 1.公式
          • βrj就是拉格朗日积函数再做积分
        • 2.局部截断误差
      • 4.预测校正方法
        • 将同阶的显式Admas公式和隐式Admas公式结合起来,组成预测校正公式
    • 3.基于Taylor展开 的待定系数法
      • 1.思想
        • 将线性多步公式在xi处进行Taylor展开, 然后与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式相比较,要求它们前面的项重合,由此确定参数ai ,bi。
        • 当未知数个数大于方程个数时,可令多出的未知数=0后代入计算
• 8.偏微分方程数值解法
  • 1.三种类型
    • 1.抛物型方程U(x,t)
    • 2.双曲型方程U(x,t)
    • 3.椭圆型方程U(x,y)
  • 2.有限差分法
    • 1.基本思想
      • 用离散的、只含有限个未知数的差分方程（线性代数方程）去近似代替连续变量的微分方程及边界条件,并把相应的差分方程解作为微分方程的近似解
    • 2.讨论的问题
      • 1.差分格式的建立
      • 2.差分方程的解近似微分方程的解的误差估计及差分解收敛性问题
      • 3.当初值有误差时,对解的影响,即稳定性问题
  • 3.抛物型方程 的差分解法
    • 1.定解问题
    • 2.建立差分格式
      • 1.网格剖分
        • 1.将求解区域D分割成矩形网格
      • 2.5个常用公式
    • 3.古典显格式 向前Euler格式
      • 0.思想
        • 利用公式1向前差商对t 和 4对x 化简,数值条件稳定r≤1/2
      • 1.化简
      • 2.变量范围
        • 1≤i≤M -1(空间x变化范围,去除边界),0≤k≤N - 1(时间t变化范围)
      • 3.初始条件
      • 4.边界条件
      • 5.阶段误差
      • 6.步长比
      • 7.简化为
      • 8.矩阵形式
    • 4.古典隐格式 向后Euler格式
      • 0.思想
        • 利用公式2向后差商对t 和 4对x 化简,数值无条件稳定
      • 1.化简
      • 2.截断误差
      • 3.简化为
      • 4.矩阵形式
    • 5.Richardson格式
      • 0.思想
        • 利用公式3中点公式和4对方程化简,数值不稳定,无意义
      • 1.简化
      • 2.特点
        • Richardson格式是一个3层格式,需知道(k一1)层和k层的值才能求出第(k＋1)层的值.第一层的值由泰勒展开法获得
    • 6.Crank-Nicolson格式 CN格式
      • 0.思想
        • 取中点t/2,利用公式3中点公式,4,5平均公式对方程化简,两层隐格式,稳定
      • 1.简化
      • 2.矩阵形式
  • 4.差分格式的稳定性
    • 1.稳定性问题
      • 对于固定的步长,计算过程中产生的误差,随着计算步数的增加,是逐渐消失或保持有界,还是无限增大？
    • 2.假定条件
      • 1.边界条件的计算是精确的
      • 2.只在初始层某点(i0,0)上产生了误差ε,初始层其它点没有误差
      • 3.在以后各层的计算都没有引入其它误差
    • 3.精确解
    • 4.近似解
    • 5.相减得误差
    • 6.定义范数
    • 7.稳定定义
    • 8.显格式稳定证明
    • 9.隐格式稳定证明
  • 5.差分格式的收敛性
    • 1.收敛性问题
      • 当步长无限缩小时,差分格式的解是否逼近于微分方程的解？逼近的快慢如何？
    • 2.收敛定义
    • 3.常见阶数
    • 4.显格式收敛证明
    • 5.隐格式收敛证明
  • 6.双曲型方程 的差分解法
    • 1.初边值问题
    • 2.显格式
      • 0.思想
        • 直接对两式子用二阶求导公式展开
      • 1.公式化简
      • 2.初值条件 差分格式
      • 3.步长比化简
      • 4.条件稳定
      • 5.收敛性
    • 3.隐格式
      • 0.思想
        • 对x的公式用3中点公式转换为两个点,再对这两个点和对t的公式都用二阶导数展开
      • 1.公式化简
      • 2.初始条件
      • 3.差分格式
      • 4.无条件稳定
      • 5.收敛性
  • 7.椭圆型方程 的差分解法
    • 1.边值问题
    • 2.差分格式
      • 0.思想
        • 直接对两个式子用二阶求导展开
      • 1.公式化简

试卷

• 19年
• 17年
• 18年

考试题型

• 1.试卷题型
  • 1.误差分析 绝对误差限 相对误差限 有效位数
    • 1.原理
      • 0.概念
        • 1.绝对误差
          • 设x是精确值x*的一个近似值,记e=x*-x,称e为近似值x的绝对误差,简称误差
        • 2.绝对误差限
          • 如果ε满足|e|≤ε则称ε为近似值x的绝对误差限,简称误差限
          • 精确值x* 、近似值x和误差限ε之间满足： x-ε≤x*≤x+ε通常记为 x*=x±ε
        • 3.相对误差
        • 4.相对误差限
        • 技巧
          • 1.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位
      • 1.求法
      • 2.二元函数y=f(x1,x2)
      • 3.和,差,积,商误差估计式
    • 2.步骤
      • 1.直接写出x,y的绝对误差限|e|
        • 因为x,y是有效数字,绝对误差限就是最后一位数的半个单位
      • 2.求二元函数的绝对误差限|e(x,y)|
        • 1.利用公式分别对x,y求导,相对应乘e(x)和e(y)
        • 2.用绝对值进行放缩,绝对值中为减号时,放到绝对值外也变为加号,最后计算出结果
      • 3.指出有效位数
        • 将x,y代入求得实际值,得到m,再根据|e(x,y)|得到n即为有效位数
      • 4.求相对误差限
        • 直接用二元函数的绝对误差限除以自身就得到相对误差限
    • 3.例题
  • 2.迭代法 分析几个根 为什么收敛
    • 1.原理
      • 1.收敛定理
    • 2.步骤
      • 1.分析有几个根
        • 1.构造函数,对函数求导,根据导数判断函数的单调性
        • 2.若函数单调,则只有一个根,取两个相邻数的函数值异号,确定根的取值范围
        • 3.若函数存在极值点,分别在极值点两边取两个数相邻的数的函数值异号,即存在两个根,确定了两个根的取值范围
      • 2.构造迭代法
        • 1.有几个根就构造几个迭代法,一个迭代法会收敛到一个根,在取值范围内取初值,当两个结果取要求的有效数字相同时停止迭代
      • 3.说明收敛性
        • 1.构造迭代法右边部分的函数,求导,一般都是单调的,根据x的取值范围确定函数的取值范围,应该是属于x的取值范围的
        • 2.根据x的取值范围,确定导数绝对值的最大值,一般最大值小于1,证明结束
    • 3.例题
  • 3.列主元 高斯消去法
    • 1.原理
    • 2.过程
      • 1.先找到第一列中最大元素,将此行交换到第一行,再用高斯消去法,再找第二列中最大元素
      • 2.消去得上三角矩阵,写出等价三角方程组,回代得结果
    • 3.例题
  • 4.Gauss-Seidel 迭代法 写出迭代格式 收敛或发散证明 左乘矩阵意义
    • 1.原理
      • 1.公式
      • 2.分量形式
      • 3.矩阵形式
      • 4.收敛定理
      • 5.G的特征方程
      • 6.定理
        • G至少有一个特征值为0
        • ρ(G)越小,收敛速度越快
    • 2.过程
      • 1.写迭代格式时,注意小于当前x下标的用k+1次迭代,大于当前x下标的用k次迭代
      • 2.写特征方程时,对角线及下三角乘λ
      • 3.计算特征方程,用按行/列展开,注意前面有(-1)^(m+n)系数,即正负相间,二阶行列式直接对角线相乘计算
      • 4.最后若ρ(G)<1,最大特征值<1则收敛
    • 3.例题
  • 5.多项式插值
    • 1.原理
      • 1.n次Lagrange插值
        • 1.定义
        • 2.基函数
        • 3.简化
        • 4.优点
          • Lagrange插值多项式结构对称简单而优雅, 只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式,易于计算机上实现
      • 2.n次Lagrange插值余项
        • 1.近似程度
        • 2.定理
        • 3.有上届
        • 4.例题
      • 3.k阶差商
      • 4.差商表
      • 5.差商性质
      • 6.n次Newton插值多项式
      • 7.n次Newton插值余项
      • 8.插值的唯一性
      • 9.牛顿型 Hermite插值
        • 1.重节点差商
        • 2.线性插值公式
        • 3.m次插值公式
        • 4.m次插值余项
        • 例题
    • 2.过程
      • 1.构造2次需要3个条件,并不一定为导数条件,当条件不够的时候,需要自己设条件
      • 2.通常都是根据一阶导数的连续性,设一阶导数条件
      • 3.设的条件一般两种求法,若能求出一段区间的表达式,对其求导可直接代入求值, 若没有求出,通常根据其他已知条件(已知积分值/二阶导数值)来求未知数
      • 4.使用Hermite条件时,必须从0次开始,没有就设未知数,绝对不能跳跃插值
    • 3.例题
      • 也可以假设H(b)=m,构造三次差商,根据H'(b)=f'(b),求出m
  • 6.最佳逼近
    • 1.最佳一致逼近
      • 1.定义
      • 2.特征定理
      • 3.求解方法
        • 0.设最佳一致逼近多项式p1(x)=c0+c1x
        • 1.必须先确定f(x)的二阶导数(求一次最佳逼近)在区间内是保号的,所以两个端点值是偏差点,再设1个偏差点x1列等式,两个函数对应值相减后正负相间相等,再加上一阶导数相减后等于0
        • 2.由a,b两个等式方程解出c1,由一阶导数等式求出x1,最后由x1等式求出c0
        • 3.求两个函数的最大误差/一致范数,直接代入其中一个偏差点即可,就是最大误差
      • 例题
    • 2.最佳平方逼近
    • 3.正规方程组 法方程组
    • 4.连续函数的 最佳平方逼近
    • 5.超定方程组 的最小二乘解
    • 6.离散数据的 最佳平方逼近 (最小二乘拟合)
      • 1.一定要找到基函数,将x的数据全部代入基函数,得到不同的基函数数据,最后代入正规方程组求解
      • 2.有些非线性,通过取对数等转换就变为线性
  • 7.数值积分 求代数精度 求截断误差 推复化求积公式
    • 1.原理
      • 1.代数精度求法
      • 7.复化求积公式
        • 1.基本思想
          • 将区间[a , b]分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式
        • 2.公式
        • 3.复化梯形公式
        • 4.复化Simpson公式
    • 2.过程
      • 1.代数精度为几次,就构造几次的插值多项式,不足的结点用不保号的导数值弥补
    • 3.例题
    • 4.Simpson公式
  • 8.常微分方程 多步法截断误差 构造预测校正公式
    • 1.原理
      • 1.基于Taylor展开 的待定系数法
        • 将线性多步公式在xi处进行Taylor展开, 然后与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式相比较,要求它们前面的项重合,由此确定参数ai ,bi。
        • 当未知数个数大于方程个数时,可令多出的未知数=0后代入计算
    • 2.过程
      • 1.这个展开正好将y(xi)消去了,所以多展开了一阶,正常展开到3阶即可,首先判断会不会消去
      • 2.预测校正公式中最难点在于添加一项f(Xi+1,y(i+1))就可以使用中值定理继续化简
    • 3.例题
      • 这个展开正好将y(xi)消去了,所以多展开了一阶,正常展开到3阶即可,首先判断会不会消去
      • 预测校正公式中最难点在于添加一项f(Xi+1,y(i+1))就可以使用中值定理继续化简
  • 9.偏微分方程 建立差分格式 稳定性
    • 1.原理
      • 1.5个常用公式
        • 只有向后差商(两层隐式)截断误差为正,其余都是负的
    • 2.过程
      • 1.化简格式
        • 1.用U(xi,tk)处的结点化简,注意误差中的改变
        • 2.同时乘τ即可得到r=aτ/h^2,在双曲型等中为s=aτ/h
      • 2.向量格式
        • 将k+1层单独一边,K层单独一边
      • 3.矩阵格式
        • 一边为k+1层,x的下标从1到M-1,主对角线为Ui,上对角线为Ui+1,下对角线为Ui-1
        • 最后加f(xi,tk)时,第一个加上r倍的U0k,最后一个加上r倍的Um-1k,都有具体的函数
      • 4.稳定性
        • 分析的差分方程的精确解和近似解,没有误差项,最后递推得到
        • 推导是在1到M-1范围,还要说明在边界上等于0也满足
      • 5.收敛性
        • 分析的实际解和差分方程近似解,有误差项,最后递推得到
        • 误差是有界的,相比稳定性多加了一项,其他类似
    • 3.古典显格式 向前Euler格式
      • 0.思想
        • 利用公式1向前差商对t 和 4对x 化简,数值条件稳定r≤1/2
      • 1.化简
      • 2.变量范围
        • 1≤i≤M -1(空间x变化范围,去除边界),0≤k≤N - 1(时间t变化范围)
      • 3.初始条件
      • 4.边界条件
      • 5.阶段误差
      • 6.步长比
      • 7.简化为
      • 8.矩阵形式
    • 5.稳定性证明
      • 1.显格式稳定证明
      • 2.隐格式稳定证明
    • 6.收敛性证明
      • 1.显格式收敛证明
      • 2.隐格式收敛证明
• 2.可能题型
  • 1.秦九韶算法
    • 子主题
  • 2.数值稳定性
    • 子主题

中心主题

• 1.公式
  • 1.5个常用公式
    • 只有向后差商(两层隐式)截断误差为正,其余都是负的
  • 超定方程组
    • A为列向量
  • 3.正规方程组 法方程组
  • 1.代数精度求法
  • 复化求积公式
    • 3.复化梯形公式
    • 4.复化Simpson公式
  • 欧拉公式
    • 1.前进
    • 2.后退Euler公式
      • 0.特点
        • 1阶单步隐式公式,积分用 右矩形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 3.梯形公式
      • 0.特点
        • 2阶单步隐式公式,积分用 梯形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 4.改进欧拉公式
      • 1.预测校正系统
  • 1.绝对误差
    • 设x是精确值x*的一个近似值,记e=x*-x,称e为近似值x的绝对误差,简称误差
  • 2.绝对误差限
    • 如果ε满足|e|≤ε则称ε为近似值x的绝对误差限,简称误差限
    • 精确值x* 、近似值x和误差限ε之间满足： x-ε≤x*≤x+ε通常记为 x*=x±ε
  • 3.相对误差
  • 4.相对误差限
  • 收敛定理
  • 1.公式
  • 4.收敛定理
  • 5.G的特征方程
  • 1.n次Lagrange插值
    • 1.定义
    • 2.基函数
    • 3.简化
  • 2.n次Lagrange插值余项
    • 1.近似程度
    • 2.定理
    • 3.有上届
  • 3.k阶差商
  • 1.重节点差商
  • 3.m次插值公式
    • 最后一个数对x没有影响
  • 4.m次插值余项
• 2.步骤
  • 2.步骤
    • 1.直接写出x,y的绝对误差限|e|
      • 因为x,y是有效数字,绝对误差限就是最后一位数的半个单位
    • 2.求二元函数的绝对误差限|e(x,y)|
      • 1.利用公式分别对x,y求导,相对应乘e(x)和e(y)
      • 2.用绝对值进行放缩,绝对值中为减号时,放到绝对值外也变为加号,最后计算出结果
    • 3.指出有效位数
      • 将x,y代入求得实际值,得到m,再根据|e(x,y)|得到n即为有效位数
    • 4.求相对误差限
      • 直接用二元函数的绝对误差限除以自身就得到相对误差限
  • 2.步骤
    • 1.分析有几个根
      • 1.构造函数,对函数求导,根据导数判断函数的单调性
      • 2.若函数单调,则只有一个根,取两个相邻数的函数值异号,确定根的取值范围
      • 3.若函数存在极值点,分别在极值点两边取两个数相邻的数的函数值异号,即存在两个根,确定了两个根的取值范围
    • 2.构造迭代法
      • 1.有几个根就构造几个迭代法,一个迭代法会收敛到一个根,在取值范围内取初值,当两个结果取要求的有效数字相同时停止迭代
    • 3.说明收敛性
      • 1.构造迭代法右边部分的函数,求导,一般都是单调的,根据x的取值范围确定函数的取值范围,应该是属于x的取值范围的
      • 2.根据x的取值范围,确定导数绝对值的最大值,一般最大值小于1,证明结束
  • 2.过程
    • 1.先找到第一列中最大元素,将此行交换到第一行,再用高斯消去法,再找第二列中最大元素
    • 2.消去得上三角矩阵,写出等价三角方程组,回代得结果
  • 2.过程
    • 1.写迭代格式时,注意小于当前x下标的用k+1次迭代,大于当前x下标的用k次迭代
    • 2.写特征方程时,对角线及下三角乘λ
    • 3.计算特征方程,用按行/列展开,注意前面有(-1)^(m+n)系数,即正负相间,二阶行列式直接对角线相乘计算
    • 4.最后若ρ(G)<1,最大特征值<1则收敛
  • 2.过程
    • 1.构造2次需要3个条件,并不一定为导数条件,当条件不够的时候,需要自己设条件
    • 2.通常都是根据一阶导数的连续性,设一阶导数条件
    • 3.设的条件一般两种求法,若能求出一段区间的表达式,对其求导可直接代入求值, 若没有求出,通常根据其他已知条件(已知积分值/二阶导数值)来求未知数
    • 4.使用Hermite条件时,必须从0次开始,没有就设未知数,绝对不能跳跃插值
  • 3.求解方法
    • 0.设最佳一致逼近多项式p1(x)=c0+c1x
    • 1.必须先确定f(x)的二阶导数(求一次最佳逼近)在区间内是保号的,所以两个端点值是偏差点,再设1个偏差点x1列等式,两个函数对应值相减后正负相间相等,再加上一阶导数相减后等于0
    • 2.由a,b两个等式方程解出c1,由一阶导数等式求出x1,最后由x1等式求出c0
    • 3.求两个函数的最大误差/一致范数,直接代入其中一个偏差点即可,就是最大误差
  • 1.一定要找到基函数,将x的数据全部代入基函数,得到不同的基函数数据,最后代入正规方程组求解
  • 2.有些非线性,通过取对数等转换就变为线性
  • 2.过程
    • 1.代数精度为几次,就构造几次的插值多项式,不足的结点用不保号的导数值弥补
  • 1.基于Taylor展开 的待定系数法
    • 将线性多步公式在xi处进行Taylor展开, 然后与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式相比较,要求它们前面的项重合,由此确定参数ai ,bi。
    • 展开时从自身次数开始,注意-h的正负相间
    • 当未知数个数大于方程个数时,可令多出的未知数=0后代入计算
  • 2.过程
    • 1.这个展开正好将y(xi)消去了,所以多展开了一阶,正常展开到3阶即可,首先判断会不会消去
    • 2.预测校正公式中最难点在于添加一项f(Xi+1,y(i+1))就可以使用中值定理对y求导继续化简
  • 2.过程
    • 1.化简格式
      • 1.用U(xi,tk)处的结点化简,注意误差中的改变
      • 2.同时乘τ即可得到r=aτ/h^2,在双曲型等中为s=aτ/h
    • 2.向量格式
      • 将k+1层单独一边,K层单独一边
    • 3.矩阵格式
      • 一边为k+1层,x的下标从1到M-1,主对角线为Ui,上对角线为Ui+1,下对角线为Ui-1
      • 最后加f(xi,tk)时,第一个加上r倍的U0k,最后一个加上r倍的Um-1k,都有具体的函数
    • 4.稳定性
      • 分析的差分方程的精确解和近似解,没有误差项,最后递推得到
      • 推导是在1到M-1范围,还要说明在边界上等于0也满足
    • 5.收敛性
      • 分析的实际解和差分方程近似解,有误差项,最后递推得到
      • 误差是有界的,相比稳定性多加了一项,其他类似

可能考到

• 主题
  • 2.秦九韶算法
  • 牛顿迭代法
  • 13.大范围收敛
    • 1.条件
    • 2.结论
    • 3.例题
  • 11.牛顿迭代法的变形
    • 1.割线法
      • 用差商代替导数,避免计算导数值,简化计算
  • 12.求m重根的牛顿迭代法
    • 1.m已知的修正牛顿法
    • 2.m未知的修正牛顿法
  • 6.追赶法
    • 1.定义
      • 追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法,A=LDM=TM,称之为矩阵A的Crout分解
    • 2.求解
    • 3.例题
  • 3.常用范数
  • 矩阵范数
  • 1.条件数定义
  • 欧拉公式
    • 1.前进
    • 2.后退Euler公式
      • 0.特点
        • 1阶单步隐式公式,积分用 右矩形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 3.梯形公式
      • 0.特点
        • 2阶单步隐式公式,积分用 梯形公式 代替
      • 1.公式
      • 2.局部截断误差
    • 4.改进欧拉公式
      • 1.预测校正系统

背诵内容

• 1.绪论
  • 1.绝对误差
    • 设x是精确值x*的一个近似值,记e=x*-x,称e为近似值x的绝对误差,简称误差
  • 2.绝对误差限
    • 如果ε满足|e|≤ε则称ε为近似值x的绝对误差限,简称误差限
    • 精确值x* 、近似值x和误差限ε之间满足： x-ε≤x*≤x+ε通常记为 x*=x±ε
    • 技巧
      • 1.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位
  • 3.相对误差
  • 4.相对误差限
  • 5.有效数字
    • 1.定义
      • 设数x是数x*的近似值,如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位,并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位,则称这n个数字为x的有效数字,也称用x近似x*时具有n位有效数字
    • 2.求法
  • 6.误差对函数值的影响
    • 两个相近数相减有效数字的损失分析
  • 7.秦九韶算法
• 2.解线性方程组的直接方法
  • 1.顺序Gauss消去法
    • 一种规则化的加减消元法,其基本思想是通过不断进行行变换逐次消元计算, 把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解
• 3.解线性方程组的迭代法
• 4.非线性方程求根
  • 1.简单迭代法
  • 2.收敛定理
  • 3.P阶收敛
    • 特别地，p=1时称线性收敛，p>1时称超线性收敛，p=2时称平方收敛
  • 4.收敛阶的定义
  • 5.牛顿迭代公式
    • 收敛证明
      • 先假设x*为m重根写出f(x)=(x-x*)^m g(x),求出f'(x),代入到牛顿法N(x)中得到N(x*)=x*,最后再用导数定义法求出N'(x*),化简为1-1/m
  • 6.求m重根的牛顿迭代法
    • 1.m已知的修正牛顿法
    • 2.m未知的修正牛顿法
  • 7.大范围收敛
    • 1.条件
    • 2.结论
• 5.插值与逼近
• 6.数值积分与数值微分
• 7.常微分方程数值解法
• 8.偏微分方程数值解法
  • 0.三种类型
    • 1.抛物型方程U(x,t)
    • 2.双曲型方程U(x,t)
    • 3.椭圆型方程U(x,y)
  • 1.5个常用公式
  • 2.抛物型方程
    • 0.思想
      • 1.古典显示
        • 利用公式1向前差商对t 和 4对x 化简,数值条件稳定r≤1/2
      • 2.古典隐式
        • 利用公式2向后差商对t 和 4对x 化简,数值无条件稳定
    • 1.步长比
    • 2.变量范围
      • 1≤i≤M -1(空间x变化范围,去除边界)，0≤k≤N - 1(时间t变化范围)
  • 3.双曲型方程
    • 0.思想
      • 1.显格式
        • 直接对两式子用二阶求导公式展开
      • 2.隐格式
        • 对x的公式用3中点公式转换为两个点,再对这两个点和对t的公式都用二阶导数展开
    • 1.步长比
    • 2.显格式条件稳定
      • s ≤ 1
  • 4.椭圆型方程
    • 0.思想
      • 直接对两个式子用二阶求导展开
  • 5.稳定性证明
    • 1.显格式稳定证明
    • 2.隐格式稳定证明
  • 6.收敛性证明
    • 1.显格式收敛证明
    • 2.隐格式收敛证明