多元函数微分知识导图

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。本图梳理了多元函数微分的知识内容，包括隐函数求导、偏导数、全微分、多元函数求极值、条件极值、复合函数的链式求导等。

多元函数微分

• 偏导数：把偏导的变量看作变量，其余变量看作常数
• 全微分：（偏导乘上偏导的变量的微元之和）
  • 可微
    • 充分条件：函数f(x,y)的偏导数在（x,y)连续
    • 必要条件：函数f(x,y)在(x,y)处可微，则其偏导存在
  • 函数连续，偏导数存在，偏导数连，可微之间的关系：
• 复合函数的链式求导
  • 看最后的求导变量是什么，然后对包含它的变量一级一级求导，再相加
    • （学会画链式图）
• 多元函数求极值
  • 1，求出各偏导数，使之为零，求出所有驻点
  • 2，求二阶偏导判断极大值还是极小值
    • 同乘同减异之方
• 条件极值：（拉格朗日乘子法）
  • 找到要求哪个方程的极值，将其看作目标函数f(x,y） 找到约束条件，归结为φ（x,y)=0;然后再设一个变量λ，组成方程 F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ（x,y),分别对x,y求偏导，并令其为0，同时在联立φ（x,y)=0， 求得λ，再代回求x,y;最后把x,y代回f(x,y)求得极值
  • 这种方法亦可
• 几何应用
  • 曲线
    • 切向量：
    • 切线方程：
    • 法平面方程：
    • 切比法乘
  • 曲面
    • 法向量：
    • 切平面方程：
    • 法线方程：
    • 法比切乘
  • 线比面乘
• 梯度：各偏导组成的向量
• 方向倒数：偏导数乘上夹角的余弦，再相加
  • 夹角余弦的求解：对应坐标之差比上线段长度（已知两点）
• 隐函数求导
  • 把有数的都移至等号的一边，另一边为0，确定偏导那个变量，然后其余变量看作是包含那个变量的式子，然后利用复合函数的求导法则，把它求出，在通过解方程的形式，把偏导数放在等号一边，另一边即为结果。
  • 方程组的：同样是用上述方法，多个方程求出有偏导的解析式，然后解多元一次方程，求出偏导。