数字信号处理知识思维导图

这是一篇关于数字处理知识的思维导图。有关数字信号处理知识体系，可以快速掌握相关知识，迅速学会数字信号处理。

数字信号处理

离散信号与系统分析

离散时间信号

介绍

定义：自变量离散变化的信号，常称序列

数字信号的定义：幅度上只能取有限个离散值的离散时间信号

分类

有限长序列与无限长序列

无限长序列

双边序列

左边序列

右边序列

因果序列与非因果序列

离散时间信号x[k]的表示

图形

矩阵

解析表达式

常用序列

单位脉冲序列

任意离散序列x[k]皆可由单位脉冲序列表示

单位阶跃序列

与单位脉冲序列的关系：单位阶跃序列是单位脉冲序列的累加，单位脉冲序列是单位阶跃序列的后向差分

矩形序列

可由单位脉冲序列或单位阶跃序列表示

指数序列

有界序列：序列中的每个样本的幅度绝对值都小于某个有限的正数

右边指数序列定义（有界序列）

正弦型序列

正弦序列与余弦序列统称为正弦型序列

虚指数序列

序列的卷积与相关运算

序列卷积的运算

基本特性（交换律、结合律、分配律及位移特性）

卷积过程：翻转、位移、乘积、求和

序列相关运算

互相关

过程：与卷积相似，少了翻转

翻转特性

自相关

特性

偶对称

n=0处有最大值

离散时间系统

介绍

离散时间系统：对一个已知的输入序列进行处理，从而产生一个满足特定需求的输出序列

分类

线性系统

输入与输出满足均匀性与叠加性

非时变系统

线性非时变系统简称LTI

因果系统

定义：系统在某时刻的输出只与该时刻及以前的输入有关 （或：因果系统的输出不超前于系统的输入）

稳定系统

定义：对任意的有界输入信号其输出信号也是有界信号的系统

离散LTI系统的响应及特性

系统的单位脉冲响应h[k]

与系统的输入与输出无关，只取决于系统本身的结构和参数 反映了离散LTI系统的时域特性

离散LTI系统的零状态响应

输入x[k],输出y[k],则输入经过LTI系统的输出y[k]=x[k]*h[k]（线性卷积）

离散LTI系统稳定的充要条件

离散LTI系统因果的充要条件

h[k]=0,k<0

离散时间信号的频域分析

分析方法

时域到频域的映射： 离散周期信号—>离散傅里叶级数DFS（周期为N的周期序列） 离散非周期信号—>离散时间傅里叶变换DTFT（周期为2Pi的连续函数）

离散傅里叶级数

基本性质

线性特性

位移特性

对称特性

周期卷积特性

Parseval（帕塞瓦尔）等式

离散时间傅里叶变换

基本性质

线性特性

时移特性

频域特性

对称特性

卷积特性

频域微分

Parseval能量守恒原理

频域抽样定理

意义：为了能够用数值的方法计算非周期序列的频谱，故对信号的频域进行抽样

定理内容：非周期序列x[k]的频谱的离散化，对应于其时域序列x[k]的周期化

离散时间系统的频域分析

离散LTI系统的频率响应

定义：输出序列的频谱与输入序列的频谱之比

反映了系统的频域特性（即反映了离散LTI系统对不同频率信号的传输特性） 其只与系统本身的特性有关（时域特性由脉冲响应h[k]表征）

与h[k]联系：是h[k]的离散傅里叶变换

一般为复函数，可表示为幅度与相位的形式，分别对应于幅度响应与相位响应

离散非周期序列通过系统响应的频域分析

x[k]作用于离散LTI系统的零状态响应的频谱等于输入序列的频谱乘以系统的频率响应

离散周期序列通过系统响应的频域分析

正弦型信号通过LTI系统时，其输出的零状态响应仍为同频率的正弦型信号

线性相位的离散LTI系统

线性相位系统

群延迟

信号通过线性相位的LTI系统时，只有幅度随频率发生变化，而相位没有失真

离散数字滤波器

理想数字低通滤波器（非因果系统）

理想数字高通滤波器

理想数字带通滤波器

理想数字带阻滤波器

其它三种滤波器的脉冲响应皆可由低通滤波器的脉冲响应线性表示

离散时间信号的复频域分析

意义：某些序列的DTFT不存在，使用序列的z变换可进行分析

序列的双边z变换

有限长序列

右边序列

左边序列

双边序列

双边z变换的主要性质

z逆变换

留数法

部分分式法（重点）

离散时间系统的复频域分析

意义：通常只有稳定的系统才存在频率响应，因而离散信号和系统频域分析存在一定的局限性

离散LTI系统的系统函数

离散LTI系统的零状态响应的z变换与输入信号的z变换之比

系统函数h(z)是单位脉冲响应h[k]的z变换

系统频率响应是系统函数在单位圆上的z变换

系统函数与系统稳定性

通过h[k]绝对和分析较困难

稳定的充要条件：H(z)的ROC包含z平面上的单位圆 （因果系统稳定的充要条件：H(z)的极点全部位于z平面的单位圆内）

全通滤波器与最小相位系统

全通滤波器 系统的幅度响应恒为常数

一阶全通滤波器（全通滤波器）

零点与极点护卫共轭倒数关系 幅度互为倒数，相角相等

m阶全通滤波器Am(z)（可分解为m个一阶全通滤波器的级联）

最小相位系统（最小相位滞后系统） H(z)的所有零点都在z平面的单位圆内 系统具有最小延迟

任一实系数因果稳定系统Hz)都可表示为一个最小相位系统与一个全通滤波器的级联 H(z)=Hmin(z)Am(z)

最小相位系统的相位值最大，称为最小相位滞后

信号时域抽样与信号重建

意义：为了能够利用离散系统分析与处理连续时间信号，需要通过抽样将连续时间信号转换为离散时间信号。 信号时域抽样的逆过程称为信号的重建

信号时域抽样

抽样模型

抽样频率、角频率、抽样间隔T之间的关系

时域抽样定理（普遍适用）

奈奎斯特频率：抽样信号频谱不混叠的最小抽样频率（实带限信号）

抗混叠滤波器

信号重建

定义：将离散信号转换为连续信号的过程

重建模型

重建过程

连续信号的离散处理

离散Fourier变换

有限长序列的傅里叶分析

四种信号的傅里叶分析

连续周期信号

变换与逆变换

频谱特点： 离散非周期谱

连续非周期信号

变换与逆变换

频谱特点： 连续非周期谱

离散周期信号

IDFS与DFS

频谱特点： 周期为2Pi的连续谱

离散非周期信号

IDTFT与DTFT

频谱特点： 周期为N的离散谱

时域与频域分别存在联系（图示）

有限长序列的傅里叶变换DFT

意义

Fourier变换从理论上解决了如何从时域映射到频域 有限长序列的DFT仍是有限长，可以利用数字化方法实现信号的频谱分析

推导过程、定义以及矩阵表示

DFT与DFS关系

有限长序列的DFT实际上就是周期序列的DFS计算方法 从某种意义上说，有限长序列也是等同于周期序列。

离散傅里叶变换的性质

线性性

需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT

循环位移性

对称性

循环卷积

时域卷积定理：时域的卷积对应频域的乘积

频域卷积定理：时域的乘积对应频域的卷积

帕塞瓦尔定理（能量守恒定理）

离散傅里叶变换与z变换的关系

x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样

DFT表示z变换

利用DFT计算线性卷积

两个有限长序列的线性卷积 （计算步骤）

L³N+M-1点循环卷积等于x[k] 与h[k]的线性卷积

长序列与短序列的线性卷积

重叠相加法

重叠保留法

分段卷积比直接DFT计算效率高

利用DFT分析连续非周期信号的频谱

分析过程:抽样—>加窗—>N点DFT

存在问题

频谱混叠

原因

连续信号为非带限信号，或者抽样频率不满足抽样定理

解决方法

带限信号：使满足抽样定理

非带限：低通滤波（抗混叠滤波器）变成带限信号

泄漏现象

原因

连续信号时域无限长，则抽样后信号仍是无限长，不适合DFT处理， 需要加窗截短，突然截断使频谱中出现多余的高频分量（频谱泄漏）

解决方法

选择适合的窗函数（常采用五种非矩形窗函数）

栅栏现象

原因

连续信号的频谱是连续的，DFT后的频谱是离散序列，无法反映部分细节，如同百叶窗（无法克服）

解决方法

常在离散后的序列后补零，构成长度大于N的序列 （补零后DFT频谱函数不变，但频谱间隔减小，细节更多）

利用DFT进行谱分析的参数选择

抽样频率（间隔）

持续时间

抽样点数

离散Fourier变换快速算法

FFT算法

意义：提高DFT的运算效率

解决思路

将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子的特性 由子序列的DFT来实现整个序列的DFT

基2时间抽取FFT算法（重点）

算法推导

算法流程图（蝶形）

算法流程图旋转因子的规律

算法复杂度

延伸

基4时间抽取FFT

混合基时间抽取FFT

基2频率抽取FFT算法（非重点）

算法推导

算法流程图

实序列的DFT计算

利用N点复序列的FFT算法 计算两个N点实序列FFT

利用N点复序列的FFT 计算2N点序列的FFT

参考简单示例理解

IDFT的快速计算方法

步骤

IIR数字滤波器的设计

IIR与FIR的区别

IIR数字滤波器DF的设计

技术要求

通带截频

通带最大衰减

阻带截频

阻带最小衰减

基本思想

(1) 将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器AF的设计。

(2) 设计满足技术指标的模拟滤波器。

(3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器。

模拟低通滤波器设计

模拟滤波器技术指标与数字滤波器相似

设计时，先将模拟滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标 进行设计，结束后，再利用频率转换将模拟低通滤波器转换为其他滤波器

四种模拟原型低通滤波器 （给定技术指标进行设计）

Butterworth模拟低通滤波器设计

(1) 确定滤波器的阶数N

(2) 确定滤波器的3dB截频 wc

(3) 确定滤波器的极点

(4) 确定模拟低通滤波器的系统函数HL (s)

切比雪夫I（CB I）型模拟低通滤波器

(1) 由通带截频wp确定wc

(2) 由通带衰减Ap确定e

(3) 由通带、阻带指标确定N

切比雪夫II （CB II）型模拟低通滤波器

(1) 由阻带截频ws确定wc

(2) 由通带衰减As确定e

(3) 由通带、阻带指标确定N

椭圆低通滤波器(了解)

频域特性及比较

模拟域频率变换

原型低通到低通

原型低通到高通

原型低通到带通

原型低通到带阻

设计步骤

AF转换为DF的方法

脉冲响应不变法

基本原理

优缺点

转换步骤

双线性变换法

基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为的带限模拟滤波器

优缺点

转换步骤

FIR数字滤波器的设计

线性相位FIR数字滤波器的特性

FIR DF与IIR DF的比较

线性相位系统

定义（严格与广义）

证明的充要条件

子主题

时域特性（四种类型）

频域特性（四种类型）

H(Z)的零点分布特性

窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器

设计过程

吉伯斯现象

所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象， 且最大波纹大约为幅度的9%，这个现象称为Gibbs现象

常用窗函数

矩形窗

汉宁窗

汉明窗

布莱克曼窗

凯泽窗

频率取样法设计线性相位FIR数字滤波器

基本思想 若所设计的滤波器为线性相位滤波器 则Hd[m]应满足线性相位条件

四种类型的线性相位条件

频率取样法设计线性相位FIR DF的步骤

线性相位FIR数字滤波器的优化设计

常用误差准则

4种类型的线性相位滤波器统一表示 (使能有统一的优化算法)

离散加权平方误差准则设计FIR

积分加权平方误差准则设计FIR

等波纹FIR滤波器设计

滤波器实现

IIR数字滤波器的基本结构

定义

IIIR数字滤波器的结构是指将加法器、乘法器、延迟器等基本单元进行相应的连接， 以实现对滤波器系统函数的数学运算构成

类型

直接型

直接I型

直接II型

两种类型表示方法及比较

级联型

表示方法

并联型

表示方法

三种类型的优缺点

FIR数字滤波器的基本结构

直接型

级联型

频率取样型

各自特点

有限字长效应

数字系统字长有限的三个影响

输入信号经A/D转换而产生的量化误差

数字滤波器的系数量化误差

乘积运算量化误差

截尾和舍入量化效应

定点二进制数的表示

三种形式：原码、反码、补码

数值量化及量化误差

数值量化两种方式

截尾量化及误差

舍入量化及误差

输入信号量化误差

产生原因：字长有限

输入信号量化误差通过LTI系统

滤波器系数量化误差

产生原因以及影响

IIR系数量化误差

FIR系数量化误差

乘积运算量化误差

FIR系统乘积量化误差的统计分析

IIR系统乘积量化误差的统计分析

IIR系统极限环振荡现象

多速率信号处理基础

多速率系统中的基本单元

多速率信号处理系统

存在不同抽样频率的离散信号的系统

增加和降低信号抽样速率的基本运算：内插和抽取

抽取与内插的时域描述

M倍抽取

L倍内插

抽取与内插的变换域描述

M倍抽取

L倍内插

基本单元的连接

基本单元：抽取、内插和滤波器等

常见三种基本连接

抽取与内插的级联

抽取等式

内插等式

抽取滤波器和内插滤波器

定义

抽取滤波器: 一般情况下，抽取后的离散序列的频谱会出现混叠， 为了避免混叠，可在信号抽取前利用低通滤波器对信号进行滤波

内插滤波器： 信号的内插不会引起频谱的混叠，但会产生镜像频谱，为消除 这些镜像频谱，可将内插后的信号通过低通滤波器

抽取滤波器

时域表示

内插滤波器

时域表示

有理数倍抽样率转换

转换框图

多相分解

意义

在实现抽取和内插滤波系统时，利用多项分解得到更有效的系统实现结构，从而降低系统计算复杂性

设计滤波器组时，其也是一种有效方法

多相分解表示

I型多相分解表达式

II型多相分解表达式

抽取和内插滤波器系统的多相结构

多相分解与FIR结构

多相分解实现抽取滤波器

多相分解实现内插滤波器

半带滤波器

意义

一类特殊的数字滤波器器，其在信号多速率处理和滤波器组设计中有着重要的应用

多相表示

特性

时域

频域

Z域

设计

窗函数法

PM算法

两通道滤波器组

定义

在数据压缩、信号传输等应用领域中，可用滤波器组将数据分解为M个子带， 然后根据每个子带信号的特点，分别对其进行处理，最简单的为M=2的两通道滤波器组

z域分析

信号时频分析与小波分析

短时傅里叶变换

频域分析的缺点

信号频域分析的不足：任一频率分量 X(jw0) 都是对信号x(t)在整个定义区间上的积分， 其无法有效地反映信号在窄区间上的突变。 信号的频域分析不适合于非平稳信号，故信号的时频分析成为必然。

短时傅里叶变换STFT是一种常用的时域分析方法

基本思想

将信号的傅里叶变换的积分区间局部化，将待分析的信号分成许多小段， 每段代表某一特定时间段，通过信号与有限时窗信号乘积后再进行傅里叶变换， 实现同时分析信号的时域特性和频域特性。当时窗信号的窗口宽度足够窄时， 可认为时变信号在较窄的窗口内是平稳的

定义

分析时频特性

时间分辨率

决定因素：时窗宽度

越高越好

频率分辨率

决定因素：相邻谱线间隔

越高越好

两者无法获得较高值：测不准原理

小波变换

小波展开与小波变换

意义

STFT的时间分辨率固定，不能有效地反映信号的突变程度，应用受限

小波分析拓展了信号STFT，实现了一种新的时频分析方法，其时窗可 以随着频率增高而缩小，频率减低而增大，有效地解决信号短时傅里 叶变换的缺陷，因而得到广泛应用

定义

小波(wavelet)是一类衰减较快的信号，其能量有限，且相对集中在局部区域 从信号的展开理论引出信号的小波展开，从信号的小波展开引出信号的小波变换。

表达式（含参数j、k）

k表示DWT的时间或空间 j表示DWT的频率或尺度

同时获得信号的时间和频率分量，从而实现信号的时频分析

基及基函数概念

离散小波变换DWT与反变换

小波变换与多分辨分析

多分辨分析MRA

尺度函数

尺度函数的MRA方程

Haar尺度函数

三角尺度函数

小波函数及其MRA方程

任意平方可积信号都可由尺度信号和小波信号线性表示

粗略信息（低分辨率）

精细信息（高分辨率）

小波变换与滤波器组

信号DWT的二级分解算法树型结构

Mallat二级DWT重建算法框图（树型结构）

小波变换的时频分析

基于小波的信号处理与应用

小波变换的特性

基于小波的信号处理框图

基于小波的去噪及过程

基于小波的压缩的两种方法及过程