考研数学第二章导数

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结、包含导数与微分、导数应用、方程根的存在性与个数等。

第二章

导数与微分

导数

可导=左右导数都存在且相等

充要

注意

单调性

一点单调定义

区间单调定义

即导数大于零一定在定义域上单调递增。但是函数单调递增并不可以推出导数大于零

导数大于零是函数单调递增的充分不必要条件

注意

函数在一点处左可导且右可导（不需要相等），则函数在该点连续，从而在该点处极限也存在



函数在一点左(右)导数存在，则函数一定左(右)连续

但左导数与左极限没有关系

左右导数存在，则函数连续（但推不出可导）

左导数存在得出左连续，右导数存在得出右连续。 于是，由函数在该点处两侧均单侧连续的条件，函数在该点连续。

可导与导数极限

弱点

导数在一点处的左右极限相等，不能保证该点可导，甚至不能保证在该点处连续和极限存在

导数定义的等价形式

实际应用中，常需要把要求的极限凑成导数定义的形式

分段函数在分界点的导数，一般用定义求

注意第二点

严选题第二页，7题中就有考到

导数的定义是：动点-定点 （若出现动点-动点，则选择题中可直接排除）

注意

做导数题时，善用具体函数法，来进行排除

和的导数=导数的和

前提是，两函数在D上都可导

微分

定义

注意这个定义的形式，要会识别，有些填空题直接这么考

微分的特征

ΔX的线函

若A≠0，则AΔX就是主要部分

定理

微分的判定与计算很难，常用可导的判定与计算来代替

与可导区别

注意

连续，可导与可微

函数可导，推不出导函数连续，甚至连导函数极限都推不出来

一点处可导

推不出

一点处邻域连续

一点处邻域可导

可推

一点处连续

邻域可导(包含一点和去心邻域)

推不出

导函数在一点处连续，可导

导函数在一点处极限存在

左边反例有点看不懂，本来邻域内可导应该保证邻域内连续，但反例fx本身在邻域内就不连续

去心邻域可导

推不出

函数在一点可导

总结

函数可导(无论在一点还是邻域)

都推不出

导函数连续，导函数极限存在

老是感觉记不住

函数在一点处n阶可导

可推

函数的在该点的邻域内，n-1阶可导

函数n阶可导

意指函数在所有点n阶可导

只不过不可以洛至n阶

特别结论



掌握这个推理过程

蛮重要，有些时候会考，或者作为运算的一部分考察，记住会加快做题速度

注意不是等号

补充一个概念的遗漏点

注意一个概念的差别

因为fx不连续，所以在那一点，一阶导是不存在，没有定义，所以f'x不用写那一点

找到fx的表达式，再行求导，对于fx无定义和不连续的点，不用考虑求导数

此题的运算有一定难度

求导公式

.

绝对值求导法则

老是忘记

求导法则

易忽略的核心

可导+可导=可导 可导×可导＝可导 可导÷可导（≠0）=可导 可导复合可导=可导

高阶导数

补充

方法

关于x，x0的点，具体怎么写，需要详细

三角函数的高次幂求n阶导数

基本思想

降幂把里面写作倍角，再利用公式（如讲义63页）

倍角公式不熟

弱点，老忘

例子

奇函数求一次导为偶函数，求两次为奇函数

所以求偶次导，仍为奇函数，利用其性质

要注意x的10次方前的系数

高阶导的一个思路

隐函数求导

最好化简为无y’的式子

对数求导法

用于连乘，连除，开方，乘方，幂指函数

将原式简化为多项式

反函数的导数

推导

常用结论

注意

注意第二条，往往考的比较复杂点

牢记第一条的条件，加快做题速度

通常考两个分段的函数的复合

另外注意，复合可导推不出，内外层均可导，这一点是遗漏点

导数应用

微分中值定理

拉格对比皮亚诺

拉格适用于整体，如区间，最值，不等式 皮亚诺适用于局部，如极值，极限

为什么，虽然不重要

微分中值定理的意义

极值最值

极值不需要函数可导

区分极大值点，与，极大值的概念

注意

极值点与拐点，都看其函数是否连续，若连续，则该点有无一阶导与二阶导无所谓，关键在于看在该点邻近是否变号

注意，可导函数不存在既是拐点，又是极值点的点

为什么，数学如何证明

不管，记住即可

对于lnx这种类型，当x=0时，不是极值点，因为极值点的定义，要求左右领域都有定义，而此处只有右领域

因为端点处，缺少邻域

极值的必要条件

若函数在x0处可导，且x0为函数的极值点，则f’（x）=0

导数为0的点称为驻点

极值的充分条件

n为偶（就联想为二阶导），≠0，有极值

牢记

证明第三充分

各题型解法

给定一个函数的二阶方程，告诉一点取极值，问极大极小

将该点代入，确认f二阶导的正负

若该点带入为0，把f二阶导的零因子除过去，利用f二阶导的连续性，求取极限得到那一点f二阶导的正负

用二阶导的连续性？

隐函数求极值

1.求导找驻点（利用隐函数求导法）

2.作判定，判定极大极小（通常用第二充分条件）

最值

方法

求开区间驻点和不可导的点

求上述点和端点的值

比较各点值

注意

最值点处的导数性质

注意

最大值和最小值是一个数值，数值是有大小的，所有数值选一个最大的或最小的，肯定只有一个

但最大值点可以有多个，因此是≥或者≤符号

注意

f(x)有重根，则在该点处，导数一定为0 

有两个重根，意即有4个根，如(x-2)²(x+1)²

f(x)为n次多项式，则最多有n个根

三次多项式的分解方法



凹向与拐点

正负，凹凸

综合题中可能会用到

极其重要

切记

拐点

必要条件

即函数二阶可导，且有拐点，则拐点处二阶导必为0

充分条件

将极值点的一个必要，三个充分的导数阶数提高一阶即可

三阶导不等于0，即为拐点

老是既不住

扩展到n阶导≠0，若n为奇数，则为拐点

注意的是，三阶导=0，只是说明第二充分条件用不上，不代表没有拐点

第一充分和第二充分，都没有要求一阶导一定为0

注意：一阶导不存在则二阶导一定不存在，因为二阶导由定义，是由一阶导推出来的

此处是不要求一阶导为0



即拐点的判断不在乎一阶导是否为0

重要

混淆点

判断拐点

求出二阶导=0的 点，再代入三阶导中不等于0，或者在该点两侧二阶导异号

对比极值

n为偶（就联想为二阶导），≠0，有极值

牢记

注意



注意

某种思路

二阶导函数为二次函数，则最多有俩零点

对其他阶数函数，同理

注意

判断拐点的方法

本质上，与一阶导找极值一样，只是阶数大了一阶

判断拐点，找二阶导=0或者二阶导不存在的点

一点二阶导可以不存在，但只要f(x)连续，并且在该点左右两侧二阶导变号，则该点为拐点

但是拐点必须要求在该点有意义

例如



渐近线

斜渐近线最多两条

水平与斜可以同时存在

但单侧，水平与斜不可同时存在

更简便方法

这种方法常常用泰勒，一定可以解决，但简单的凑一凑即可

水平与垂直是可以同时存在的



注意

若左右水平渐近线相等，则视为同一条渐近线

注意点

只要x的次方＜1，则它在x=0处不可导

方程根的存在性与个数

论证根的问题，实质上是论证函数＝0的零点问题

存在性

罗尔有点忘了

个数

注意罗尔定理推论

补充

n次方程，至多有n个根

如f³(x)，则至多有3个根

基本方法

单调区间容易找出

单调区间不易找出

方程中含有参数

方法一

先把参数分离出来，尔后求导时，导数等于0的点与参数无关

方法二

先分离参数，利用图形，画出几何

条件给出一阶或高阶时

联想到微分中值定理，如泰勒，拉格等

泰勒方法

在提供信息最多的点用泰勒，如该点有函数和一阶导等等

n阶导数，泰勒公式只可写到n阶

弱点

经济学的应用



在数学中，计算弹性时

若试题中规定需求对价格弹性大于0，则应该在弹性公式前加上负号

？

若没规定，不加负号

注意弹性在经济学中的解释

复利问题

复利



连续复利





有点忘了，需要再听一下

当n=1时，就是复利





证明不等式

单调性

方法

若这个题没有明显的特点，用单调性

若不等式无x，可以将a或b换成x，再用单调性

利用单调性时，一般左边减右边，但若函数变得复杂，要变形（一般不用分母）

正单调变换时大小关系不变

最大最小值

拉格朗日中值

泰勒

连接高阶导与函数时用

高阶导≠0时，记得罗尔定理推论

凹凸

出现二阶导一定记得

凹凸

泰勒

微分中值定理

补充

没有一阶导，用零点定理

一中值，一阶导

核心

构造辅助函数，用roll

注意辅函不唯一

构造辅助函数方法

分析法

一般不要分母

写成＝0的形式

没看懂了呢

小细节，可以注意

中值点，二阶导，两个函数时，考虑分析法

找个例子

微分方程法

特例

规律法（首先用）

核心规律

衍生规律

一阶导数前，有中值点

一阶导前，无中值点

举一反三

若出现变上限积分，并且有中值点，即便没有出现导数，但其实也已经隐含着导数了

典例



和的导数=导数的和

注意分析法的列法



补充完整





注意

此题中fx是一个抽象的函数，所以用变上限积分来表示一个具体的原函数



某种思路是，把二阶函数看作一阶，一阶看作原函数，利用规律法

与微分方程不同的是，此处可以直接略过人为设定把二阶函数视作y'





思路

只有一个中值，但却有两个导数，由于规律法中没有两个导数同时存在的解法，所以规律法没用

由于微分方程也对两个及两个以上的函数也用不了，所以微分方程法没用

只能考虑分析法，分析法简化，移到一边，去掉分母

关键在于熟悉，能看出原函数是什么



难题



思路

出现了高阶，更多想的是泰勒

但泰勒更多用于不等式，不是所有高阶都用泰勒

若要证明高阶+等式，更多还是用罗尔

出现高阶，另一个想法是用还原，思想是通过积分回去，构造辅助函数

以前是从一阶还原，现在为三阶还原

本质上一样

此题难在三阶的还原，进行还原时，把中值换为t，则积分只对中值即t起作用，而不对x起作用。同时，还原时会出现一些任意常数，要利用题干条件确定这些任意常数的具体值

构造好辅助函数后，就是反复利用罗尔进行证明

本质上与一阶时候一样

ˊ

用积分进行还原，构造辅助函数



构造辅助函数，用roll证明

错误的证法



问题在于，一式中的中值点ξ的范围是(0,x)

而一旦令x=1，则ξ会变化，取值变为(0,1)，与之前的ξ不一样，应该分别为ξ1和ξ2

从而把二式的结论再代入一式中，由于两个ξ不相等，不可能合并，所以式子是不可能成立的

一定需要注重泰勒的用法

两中值，两个一阶导

思路

难点

如何找出分离点

利用逆推法(难点)

典例





注意函数的原函数可以转化为积分的形式

此题中注意fx的转化





熟悉，要能看出谁是谁的函数





逆推法的应用

一个中值，n阶导数

方法

方法一

泰勒公式

方法二

多项式拟合

核心

依据待征结论式子，式子中出现几阶导，就建立几次幂的多项式

g(x)一定与f(x)有相同的条件

例子

把最大值＞某个值，转化为区间内，至少有一个点＞某个值

注意

若题干给出了多个信息一样多的点，则这些点都用

用了泰勒后，依据要证式子，把不必要的消掉

但若存在提供导数值的点，往往选阶数越高的点用泰勒

往往利用不等式证明

这个老是忽略，特别重要

思路转换

条件中隐含导数的情况

想一下几何就明白了



写泰勒公式时，注意不同中值点的范围不一样



熟悉这个泰勒列式的手法

实际上是由拉格朗日这种变形过来的