考研数学高数第六章二重积分

综合了武忠祥老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的总结，包含概念，性质，计算、累次积分交换次序及计算、形心、与二重积分有关的综合题等。

二重积分

概念，性质，计算

几何意义

二重积分是一个数，当f(x,y)≥0，其值等于以积分域D为底，以曲面z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积

性质

不等式性质

积分中值定理

前提是连续

与一元对应，有时可用于二重积分求极限

典例

计算二重积分

直角坐标

先y后x

注意要把“先y后x”，dy在后，箭头与y轴平行，对应起来



平移+直角坐标

极坐标

先r后θ

若被积函数和积分域都适合极坐标，则用极坐标

若都不适合，用直角坐标

若只有一个适合，具体问题具体分析

先θ后r

注意也是要乘以p的

规律总结

平移+极坐标

平移+极坐标，不会改变它的面积微元

平移后，相当于把极点移动到(1/2,1/2)

对称性和奇偶性

常见的

ℓxyℓ，关于x，y轴均为偶

√x+√y≤1

星形线的第一象限

x²，既是x的偶函数，也是y的偶函数

不用狭义的理解，它是一个特殊的二元函数y=1

蛮重要的

看此题中，可以用4D1的面积来计算

利用变量对称性

对任何的二重积分，只要把积分域D(x,y)和被积函数f(x,y)的x,y都对调，则两个积分的值一样（不用附加任何条件）

当D关于y=x对称时，将被积函数中的x,y对调，积分值不变

举例





所以当积分域对于y=x对称，并且被积函数转换后相同，比如x+y+2，转换后还是x+y+2，那么此时就可以用2D1来计算原本的D，并且被积函数不用变换

一些方法

对于某些题型，可以用大面积减去小面积

通常采用x，y对换，考得很多

某些积分域的注意事项

有时积分域信息隐藏在被积函数中

带有绝对值时的函数

并且这种隐含规律，一个好求一个不好求，此时往往用减法

注意椭圆与圆的图像

补充

二重积分被积函数相同，但积分域不同



关于平移的性质不太理解

对于平移掌握不熟

平移解法

答案解法

图形变换



极直互化图

不熟



二重积分的和式极限

对比一元



二重积分



例题



二重积分中值定理



考得较少，但要能反应过来

累次积分交换次序及计算

基本方法

画域

重新定限

累次积分就是定积分

一般来说，给出的累次积分都不太好算，但通过更换积分次序，就很好算了，或者更换坐标系

要证明二重积分＝定积分

把二重积分化为累次积分，然后把内层算出来，就变成了定积分

若内层为二元，可以通过代换转变为一元，如x-y=u，此时就变为了u与x的累次，但此时还要画域重新定限

若被积函数为f(u)，因为不知道函数本身，所以通过交换次序，就可以把f(u)放到后面去算

例子

一种题

形心

基本公式，概念

概念

能使物体保持平衡的点

公式



形心规则



只有一个对称轴，则形心在轴上，但不确定在轴的哪个位置

有两个对称轴，则形心在轴的交点上

有效加快某些二重积分的运算

例题













秀

二重积分换元法

一元函数积分换元



二重积分换元



举例



常规解法



换元法



与二重积分有关的综合题

二重积分难题一定出现在这里

题型一

对于内外层均有未知函数的累次积分，不能直接求导

通常通过交换积分次序后，就可以变成一个变上限的定积分

题型二

对于一些二重积分，可以把二重积分化为累次积分，方便计算

善用轮换对称性



题型三

二重积分与极限，求导的联系

例子

二重积分的内外层均有x，求不了导

需要交换积分次序

此处是一元的积分中值定理

重点关注此处的求导与定积分中值定理思想

二重积分中值定理

题型4

比较新颖的题

分部积分法演算

二重积分一定是一个数

在多元中拿到一种题没有思路时，想想一元中有无类似的问题

方法二

注意这个运算方法，我靠

学废

解某种一元积分时，可转换成二重积分来计算



偏导数与二重积分



核心的点

误区解释



二重积分与复杂积分运算



直角坐标系下，无论怎样，都难以处理x/x+y，所以考虑极坐标

复杂被积函数，对最复杂的部分进行求导



相减型二重积分运算



思路：直接算算不出，拆开，好算的算，不好算的交换次序，得到的前后两式中，会把算不出的消掉



带绝对值，大减小，平移的二重积分运算

重点，经常考









非常非常重要 的题

二重积分证明不等式问题



思路

题目要求用二重积分证明不等式问题，那么就必定要求制造两个定积分相乘

步骤

制造两个定积分相乘

改变字母，变成二重积分

利用工具（通常是轮换对称性），变成另一个积分，然后两个积分相加除以2

对新得到的积分进行处理，如放缩（这一步有难点，有时候不容易想到），最后证明完毕



有难度，新颖的题

这是通过对函数进行放缩，来证明不等式问题



这是对积分区域进行放缩，证明不等式问题

前提，f(x,y)>0



结合几何意义



非常非常重要

我对这个公式总是记得不熟

二重积分不等式问题

喜欢考三个积分排大小

在函数属于（0，1）时，方幂越大值越最小

若积分域和积分函数都不同，一般难以比较大小

但两两之间总有共同点



被积函数相同时，转变为积分区域比大小





利用轮换对称性，奇偶性





什么样的定积分，应该想到二重积分

当遇到两个定积分相乘时

把两个定积分的乘积化为重积分

方法是把其中一个的积分变量换为y

同时D常常关于y＝x对称，常用对调

例如

这两相乘，为相乘的俩函数构成的新函数在对应的区域的二重积分