考研数学概率论一维随机

综合了余丙森老师，张宇老师以及一些我自己做题（1000题，660，880）中的知识点的公式，重要定理总结。

一维随机

• 基本概念
  • 张宇补充
    • 
    • 对于为什么连续型随机变量在一点处没有概率的一种解释
      • 
  • 随机变量
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      • 
      • 随机变量是定义在样本空间上的，样本空间Ω中的元素可以不是数
      • 而普通函数是定义在实数轴上，变量的取值是数
    • 
  • 分布函数
    • 定义
      • 
    • 性质
      • 
        • 该性质对离散型和连续型都有效
        • F为分布函数的充要条件为，以上三条性质同时成立
      • 
        • 原理
          • 
        • aii>0是为了保证F(x)正单调
        • 第一条是为什么
          • 要证明它仍然是分布函数，核心在于证明满足分布函数的三个性质
          • 
      • 注意
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        • 设X为随机变量，对任意实数x，P{X=x}=0的充分必要条件是
          • X的分布函数F(x)为连续函数
            • 证明
              • 
    • 计算公式
      • 
        • 很重要，熟记
        • 一点的概率=该点的值-左极限的值
    • 特例
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        • 
        • 
        • 很重要，牢记
    • 注意点
      • 
        • 间断点为随机变量的取值点
        • 只有不连续的点才有正的概率
          • 跳跃度该该点的概率
      • 连续型的分布函数F(X)，不可使用奇偶性
        • 
        • 因为分布函数F(x)与F(-x）的表征的含义不一样
  • 离散型随机变量
    • 定义
      • X的取值为有限或可列无穷多个
    • 概率分布律
      • 
    • 分布律性质和计算
      • 
    • 离散型分布函数
      • 
    • 常见离散型
      • 0-1分布
        • 
          • 牢记这个符号，后面章节会用到
        • 背景
          • 一重伯努利试验，如电气开关
      • 二项分布
        • 
        • 注意它的语言可以为：n个样本中取到k（或者xi)的个数
          • 例如
            • 
              • 
        • n重独立重复试验
        • 二项分布的可加性
          • 
            • 可加性的前提是x1,x2独立，且p相等
              • 注意前提
        • 性质补充
          • 
          • 二项分布存在最大值
            • 
        • 举例
          • 
            • 避开了讨论A1，A2独立与否的问题，若从A1，A2的角度入手，难度相当于大题
      • 泊松分布
        • 
          • 
          • 补充
            • 
          • 牢记公式
            • k从0开始
          • 老是记不住
        • 现实意义
          • 某单位时间段，某场合下，源源不断的随机质点流的个数，常用于描述稀有事件的概率
          • 其中，随机事件可以是某类事件（如客流量）在某段时间发生的次数
          • 其参数，λ，表示强度
            • 表示单位时间内随机事件的平均发生次数
            • 比如五一期间来的人多，平常来的人少
              • 则P(x=30)表示，单位时间内（五一期间），某景区，源源不断来的顾客的个数等于30的概率
          • 在统计中，泊松分布常用于预测事件的准确发生次数，泊松分布可用来描述客流量、某些犯罪等随机行为的发生情况或在某些特定环境中的事件发生的概率。
          • 例如
            • 在某时段内，进入某景区游览的游客人数服从参数为30的泊松分布
            • 一个工厂在一天内生产的产品数量
            • 一个城市在一天内发生的交通事故次数
        • 背景
          • 稀有事件发生的次数
            • 如日本地震次数
        • 独立
          • • 1，2项容易忽略
              • 泊松，二项分布和指数分布的独立可加性
            • 注意第4项，是min，和指数，对于Z=X+Y这类并不适用
            • 要注意的是第二项并不是相减
              • 相减的公式似乎没有
                • 
                  • 
                  • 可以看到相减并不服从二项分布
            • 还有个可加性是卡方分布，只是没写在这一章
            • • 即泊松跟二项分布相加时，不能是什么3X+2Y，不能带除1外的系数
          • 记忆
        • 泊松定理
          • 
          • 
            • 即二项分布较大，但np比较适中的时候，其近似服从泊松分布
        • 典型例题
          • 有难度
          • 
            • 当t取1的时候，就是单位时间
            • 
              • 不是很理解
      • 几何分布
        • 
        • 独立重复试验中，事件A首次发生时所进行的试验次数X
          • 注意这个概率对应的事件是什么意思，要能反过来推敲
          • 首中即停止
        • 几何分布具有无记忆性
          • 同样具有无记忆性的还有指数分布
          • 
            • 含义
              • 已经等了m小时后，再等n小时的概率，与直接等n小时发生的概率一样
        • 几何分布的符号是G
      • 超几何分布
        • 
        • 意义
          • N件产品中有M件正品，无放回取n此，则取到k个正品的概率
        • 其期望值为
          • Mn/N
  • 连续型随机变量及其概率密度
    • 与高数连联系
      • 
      • 
    • 概率密度f(x)可唯一确定F（X），但F(x)不可唯一确定f(x)
      • 因为改变fx在有限个点的值，不影响F(x)
    • 定义
      • 
        • 密度函数的积分就是概率
        • 密度不唯一
          • 如何理解
        • 只要求f(x)非负可积
          • 概率密度是非负可积的
    • 结论
      • 连续型随机变量的分布函数F(x)必定为连续函数，所以对连续型随机变量x来说，某一点概率＝0
      • 连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，即分布函数不连续的随机变量一定不是连续型随机变量
        • 有点不理解，就是积分中可积，连续的关系
        • 区分一个误区，连续型随机变量的概率密度，不一定是连续的
          • 很重要
      • 
        • 注意是必为
        • 有证明吗？
    • 注意
      • 
    • f(x(是一个连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件为
      • f(x)≥0
        • 非负
      • 
      • 即密度函数非负，且积分为1
        • 注意，并不要求密度函数单调不减，但F(x)是单调不减的
        • 总是记不住这个性质
        • 只要求f(x)非负可积
          • 概率密度是非负可积的
      • why
        • 不为什么
      • 似乎也不要求它是连续的
    • 概率的计算
      • 
    • 常见连续型随机变量
      • 均匀分布
        • 
          • 记一下这个分布函数公式，有利于快速解题
        • 均匀分布有对称性，对称点为a+b/2
        • 常用话语
          • X在I上的任一子区间取值的概率与该子区间的长度乘正比
      • 指数分布
        • 
          • 
            • 牢记此公式
          • 注意理解F(a)的含义
          • 公式一定熟记
          • 注意区分泊松分布公式
            • • 牢记公式
        • 图像
          • 
        • 背景
          • 寿命
        • λ的意义
          • 
          • 当λ不是一个常数时，指数分布就不存在无记忆性
            • 
          • 区分泊松的λ
            • 它表示强度，而指数中表示失效频率（当λ↑，则EX↓）
              • 失效频率越低，则平均寿命EX越长
        • 指数分布具有无记忆性
          • 
            • 已经活了三十岁，问再活到60岁的概率
            • 
            • 注意点
              • 
          • 几何分布，也具有无记忆性
        • 注意
          • 
      • 正态分布
        • 
        • 标准正态
          • 
        • 性质
          • 
        • 图像
          • 
            • σ越大，曲线越矮
        • 结论
          • 
            • 牢记公式
        • 标准正态分布
          • 
            • 
          • 标准化
            • 
              • 
              • 因为右边一点不影响
          • 常见
            • 
              • 牢记
            • 
    • 常用公式
      • 
        • 牢记，常用
        • 注意是积分区间是(0,+∞)
      • 
        • 
          • 常用
  • 混合型分布
    • X是混合型，则F(x)=P｛X≤x｝
    • 
      • 
        • 非常重要的全集分解思想
      • 另一种方法
        • 
      • 全集分解法，有难度
  • 用分布
    • 常用公式
      • 极其重要，必须背下来
      • 
        • 口诀：
          • 带等号的，取函数值，不带等号的，取左极限值
        • 会与后面诸多章节关联，基本功
  • 求随机变量函数的分布
    • 即已知X的概率分布，求Y＝g(X)的概率分布
    • 若X为离散型
      • 离散型的称为分布律
      • 
      • 若X为离散型，则其分布函数一定为离散型
    • 若X为连续型
      • 有三种可能
        • 连续型
          • 先求Y的分布函数，再求密度
        • 离散型
          • 求Y的分布律
        • 混合型
          • 只求Y的分布函数
    • 方法
      • 当Y为连续型或者混合型时
        • 
          • 注意点
            • 
        • 难题分布点，与后面的章节关联也很大
  • 一维随机变量函数的分布
    • 离散型→离散型
      • 比较简单
    • 连续型→连续型（或混合型）（重点）
      • 两种方法
        • 分布函数法
          • 面向不单调时候的方法
          • 
        • 公式法
          • 适用条件，y=g(x)在区间上，是关于x的严格单调可导函数，则存在x=h(y)是y=g(x)的反函数
          • 公式推导
            • 
            • 不熟
          • 注意区分，这不是卷积公式
            • 这是用于求密度的
      • 典型例子
        • 
          • 
            • 有难度，不熟
            • 这个思想转换很关键
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            • 第二问
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          • 
    • 连续型→离散型
      • 思路 
        • 
      • 例题
        • 
          • 
          • 天秀的一题
    • 一个结论
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        • 
          • 结论牢记
        • 应用举例
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            • 常规方法
              • 
            • 利用结论
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  • 一些做题方法
    • 全集分解法
      • 这是求随机变量分布、计算概率时常用的技巧，称为全集分解法
      • 例子
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      • 非常重要，张宇例题
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          • 可推广到期望
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      • 核心
        • 带等号的，取函数值
        • 不带等号的，取左极限值
      • 极其重要，与后面每一章节都相关
      • 应用
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    • 常用分布性质与结论
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        • 注意第四个的指数分布的小性质，kX的指数
    • 典例
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