计量经济学

这是一篇关于计量经济学的思维导图，包含一元线性回归、 多元回归模型、异方差 (条件异方差)、自相关、多重共线性、 极端数据等。

计量经济学

• 一元线性回归
  • 一元线性回归模型
    • yi=a+bxi+ei (i=1,...,n)
  • OLS
    • 希望在（x,y）平面找到一条直线，使得直线离所有点距离最近。这个距离叫做残差ei=y-a-bxi
    • OLS残差与解释变量及拟合值的正交性是OLS的重要特征
    • OLS的正交性
      • TSS(离差平方和)=ESS（拟合值：可解释部分）+RSS（残差平方和：不可解释部分）
  • 拟合优度R^2
    • R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS
    • 衡量样本回归线对数据的拟合优良程度（如果可解释部分所占部分越大，样本回归线的拟合程度越好）
    • 0《R^2《1，R^2越高，则样本回归线对数据的拟合程度越好。如果R^2=1，则解释变量x可以完全解释y的变量
  • 无常数项回归
    • OLS仍然满足正交性，但不宜使用R^2来度量拟合优度，要用非中心R^2
  • state命令
    • 一元回归
      • regress y x
    • 无常数项回归
      • regress y x,noconstant
    • e类命令
      • （估计命令）比如：regress
      • 想看所有的e类命令运行结果 ereturn list
    • r类命令
      • 其他 比如：summarize
      • 想看所有的r类命令运行结果 return list
      • 变异系数=标准差/平均值 display r(sd)/r(mean)
    • 想看所有命令
      • list
• 多元回归模型
  • 古典线性回归模型
    • 线性假定
      • 每个解释变量对yi的边际效应为常数，回归函数是参数的线性函数。
    • 严格外生性
      • 扰动项ei与所有个体的解释变量都不相关
    • 不存在严格多重共线性
      • 矩阵X满列秩，即不存在某个解释变量为另一解释变量的倍数，或可由其他解释变量线性表示出。
    • 球形扰动项
      • 即扰动项满足“同方差”、“无自相关”
    • 正态分布
  • 矫正拟合优度（可能为负值）
    • 矫正的R^2 < R^2
  • OLS的小样本性质
    • 线性性
    • 无偏性
    • 球形扰动项
      • 满足同方差、无自相关
      • 好处是可以证明OLS估计量是最有效率的估计量，即方差最小
    • 高斯马尔可夫定理
      • 最小二乘法是最佳线性无偏估计：即在所有线性的无偏估计中，最小二乘法的方差最小（核心是球形扰动项）
    • 对扰动项方差的无偏估计
  • stata命令
    • 回归
      • regress y x1 x2
      • 无常数项回归
        • regress y x1 x2 x3，noc
      • 只对南方样本进行回归
        • regress y x1 x2 x3 if rns
      • 只对北方样本进行回归
        • regress y x1 x2 x3 if ~rns
      • 对s>12的子样本进行回归
        • regress y x1 x2 x3 if s>12
      • 回到最初的全样本
        • quietly reg y x1 x2 x3
    • 计算拟合值
      • predict lny1（将拟合值记为lny1）
    • 计算残差
      • predict e，residual （将残差记作e）
    • 将lny 拟合值和残差同时列表
      • list lny lny1 e
    • 将产出对数及其拟合值画一起
      • line lny lny1 year，lpattern（solid dash）
    • 如果要显示回归系数的协方差矩阵
      • vac（回归之后输入）
    • 检验假设
      • test
  • F检验
    • F值越大越倾向于拒绝原假设
  • T检验
    • p值越小越倾向于拒绝原假设 0.05 0.1 0.5
• 大样本OLS
  • 假定
    • 无需假设严格外生性和正态性
    • 线性假定
    • （K+1）维随机过程为监禁独立的平稳过程，故适用于大数定律和中心极限定理
    • 前定解释变量
    • 秩条件（满秩，故不存在严格多重共线性）
• 异方差（条件异方差）
  • 含义
    • 是违背球形扰动项假设的一种情形，即条件方差依赖于i，而不是常数e^2。
      •  OLS回归线在x较小时可以较精确的估计，而x较大时，南野准确估计。
      •  OLS回归线在x较小时可以较精确的估计，而x较大时，南野准确估计。
  • 例子
    • 消费函数，穷人的消费大多是必需品，很少变动，而富人的消费支出更难猜测。
    • 企业的投资、销售收入与利润：大企业的活动可能以亿元为单位，小企业的活动以万元为单位，若把大中小型企业放在一起回归，可能存在异方差。
  • 后果
    • OLS估计量依然是无偏、一致且渐进正态
    • 使用普通标准误的t检验、F检验失效
    • 高斯马尔可夫定理不再是BULE（最佳线性无偏估计）
  • 检验
    • 画残差图
      • 看残差与拟合值的散点图 rvfplot
      • 看残差与解释变量的散点图 rvfplot 解释变量
      • 这两个图对比，如果走势一致，扰动项的方差随观测值而变，表明可能存在异方差
    • BP检验
      • 原假设：同方差
        • estat hettest，iid rhs（对所有解释变量进行BP检验）
        • estat hettest，iid （使用拟合值进行BP检验）
        • estat hettest lnq，iid （使用变量lnq进行BP检验）
        • 若p值都很小，就强烈拒绝同方差原假设，即存在异方差问题
    • 怀特检验
      • estat imtest，white
        • 若p值很小（0.01/0.05/0.1懂吧），则拒绝同方差原假设，即存在异方差。
      • 性质
        • 优点
          • 可以检验任何形式的异方差
        • 缺点
          • 解释变量越多，则解释变量的二次项越多，损失较多样本容量。
  • 处理
    • OLS+稳健标准误（万金油）
      • reg y x1 x2 x3,r
      • 最简单、最通用、更稳健，适用于一般情形
    • 加权最小二乘法（WLS）
      • reg y x1 x2 x3[aw=1/var] （var是方差估计值）
      • 有效率，但前提时知道每个个体的方差
      • 给予方差较小的观测值较大的权重，先变为同方差，然后进行OLS估计
    • 可行加权最小二乘法（特效药）
      • 看不懂，但是应该比WLS更好，解决方法一般在1和3之间选。
      • 在大样本下比OLS更有效率，，缺点时必须估计条件方差函数
• 自相关
  • 含义
    • 违反球形扰动项的一种情形，也叫序列相关，是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。
  • 性质
    • OLS估计量仍然是无偏、一致且渐近正态的
    • 普通标准误的t检验、F检验失效
    • 高斯马尔可夫定理不再成立，即OLS不再BLUE。
  • 例子
    • 时间序列数据中的自相关：
      • 相邻两年的GDP增长率、通货膨胀率。意外事件或新政策的效应需要随时间逐步释放出来。最优资本存量需要通过若干年的投资才能逐渐达到。
    • 横截面数据中的自相关：
      • 相邻的省份、国家之间的经济活动相互影响。相邻地区的农业产量受到类似天气变化的影响。同一社区内的房屋价格存在相关性。
    • 对数据的人为处理：
      • 比如数据中包含移动平均值、内插值或季节调整
    • 设定误差
  • 检验
    • 画图
      • 计算残差（记为e1）及其滞后项 predict e1，r
      • 将残差与残差滞后画成散点图 twoway scatter e1 l.e1 || lfit e1 l.e1
      • 残差自相关图 ac e1
    • BG检验
      • estat bgodfrey,lags(p) nomiss0
        • laps(p)表示滞后阶数，nomiss0表示不加0的BG检验
        • 看p值，原假设都是无自相关
    • Q检验
      • wntestq e1,lags(p)
      • corrgram e1,laps(p)
      • 也是看p值，
    • DW检验
      • estat dwatson
        • DW=d=2（1-r^） 当d=2时，无自相关，当d=0时，正自相关 ；当d=4时，负自相关。（我也搞不懂这个，例题DW=1.02，是存在正自相关。可能是看算出来的ρ的正负号？）
  • 处理
    • 使用OLS+异方差自相关稳健的标准误（HAC稳健标准误） newey y x1 x2 x3,lag(p)
    • 准差分法 prais y x1 x2 x3,corc (corc表示使用co估计法，如果没有corc 默认使用pw估计法)
    • 广义最小二乘法（GLS）
    • 修改模型设定
• 多重共线性
  • 严格多重共线性：如果在解释变量中，有某一解释变量可由其他解释变量线性表出，则存在“严格多重共线性”
  • 含义
    • 在回归分析中，如果两个或两个以上的自变量之间存在相关关系，则存在多重共线性。
  • 性质
    • OLS仍是BLUE，高斯马尔可夫定理仍然成立
    • 整个回归方程的R^2较大，F检验显著，但单个系数的t检验不显著（R^2越高，解释变量与其他解释变量的多重共线性越严重，方差越大）
      • 方差膨胀因子VIF越大，则多重共线性越严重，判断是否存在多重共线性，VIF的最大值应该不大于10
  • 检验
    • 回归之后 estat vif
      • 若VIF小于10，则不存在多重共线性
  • 处理
    • （1）如果不关心具体的回归系数，而只关心整个方程预测被解释变量的能力，通常不必理会多重共线性。(2)如果关心具体的回归系数，但多重共线性并不影响所关心变量的显著性，则可不理会。 （3）若影响到变量的显著性，应设法处理：增大样本容量、删除导致严重共线性的变量、将变量标准化、对面模型设定进行修改。（最常见的方法就是无为而治）
• 极端数据
  • 定义
    • 如果样本数据中的少数观测值离大多数观测值很远，他们可能对回归系数产生很大影响。这些数据称为“极端观测值”或“高影响力数据”
  • 检验
    • 对于一元回归可以画散点图来看是否存在极端观测值。
    • 或者计算观测值的影响力（lev） （1） predict lev ， leverage （2）然后 sum lev （3）计算lev的最大值对其平均值的倍数 dis r(max)/r(mean)
      • 若 lev的最大值/其平均值 得到的值很大 ，则存在高影响力的极端观测值
  • 处理极端数据
    • 首先，仔细检查是否因数据输入有误而导致极端观测值
    • 其次对出现极端观测值的个体进行背景调查，考察是否由与研究课题无关的特殊现象所致，必要时可以删掉极端数据。
    • 最后，稳健的做法是同时汇报“全样本”，与删除极端数据后的"子样本"的回归结果，让读者自己判断。
• 虚拟变量
  • 虚拟变量陷阱
  • 定义
    • 如果使用定性数据或分类数据，通常需要引入虚拟变量，即取值为0或1的变量。
  • 优点
    • 与邹检验相比，（1）只需生成虚拟变量即可检验，十分简便。（2）邹检验是在球形扰动项的假设下得到的，并不适用于异方差或自相关的情形。在异方差和自相关的情况下，可以使用虚拟变量法，只需在估计方程时使用稳健的HAC标准误。（3）如果存在结构变动，邹检验不提供究竟是截距项还是斜率变动的信息，但是虚拟变量法提供。
• 缺失数据
  • 处理
    • 线性插值 ipolate y x ,gen (newvar) 将变量y对变量x进行线性插值，并将插值结果记为新变量newvar。
• 内生性
  • 含义
    • 解释变量与扰动项相关
  • 来源
    • 遗漏变量误差、联立方程偏差（双向因果关系）、测量误差偏差
  • 检验内生性问题
    • 豪斯曼检验
      • reg y x1 x2
      • estimates store ols （存储OLS的结果，记为ols）
      • ivregress 2sls y x1(x2=z1 z2) （假设x2为内生变量，z1、z2为IV）
      • estimates store iv （储存2sls的结果，记为iv）
      • hausman iv ols ， constant sigmamore （根据储存结果进行豪斯曼检验）
      • 原假设：所有的解释变量都是外生变量，还是看P值，若p值很小，则拒绝原假设，那么就是存在内生变量啦。
  • 解决内生性问题
    • 工具变量法（即通过二阶段最小二乘法）
      • 弱工具变量问题
        • 如果工具变量和内生变量无关，则无法定义工具变量。如果工具变量与内生变量的相关性很弱，会导致估计量的方差变得很大，成为“弱工具变量问题”。 如果工具变量与内生解释变量仅微弱的相关，这种工具变量称为“弱工具变量”。
        • 如果工具变量和内生变量无关，则无法定义工具变量。如果工具变量与内生变量的相关性很弱，会导致估计量的方差变得很大，成为“弱工具变量问题”。 如果工具变量与内生解释变量仅微弱的相关，这种工具变量称为“弱工具变量”。
      • reg y x2 x3,r
      • 第一阶段回归： （ 引入工具变量x1 ） reg y x1 x2 x3,r
      • 第二阶段回归： ivregress 2sls y x2 x3 (x1=z1 z2) , r first (假设z1 z2与x1外生，并与x1成正比) 若z1 z2 的p值都很小，则表示z1 z2可以很好的解释x1，即工具变量和内生解释变量相关
      • 检验是否弱工具变量问题 estat firststage （F值大于10，则拒绝“存在弱工具变量”的原假设。）
      • 过度识别检验 estate overid （看p值，若p值很小，则拒绝“所有变量都是外生的”原假设，则存在内生变量，即与扰动项相关）
      • 第一阶段 用内生解释变量对工具变量回归 第二阶段 用被解释变量对第一段回归的拟合值进行回归
• 面板数据
  • 含义
    • 在一段时间内跟踪同一组个体
  • 优点
    • 可以解决遗漏变量问题
    • 提供更多个体动态行为信息
    • 样本容量较大
  • 缺点
    • 成本较大，不易获得