导图社区 实变函数
- 18
- 举报
实变函数
这是一篇关于实变函数的思维导图，包含集合、积分、微分、Lp空间、测度等。有需要的朋友赶紧收藏吧！
编辑于2024-01-24 23:49:19- 数学
- 分析
- 实变函数
- 相似推荐
- 大纲
实变函数
集合
极限
上极限
下极限
序关系
单调性
单调递增
下一个集合包含上一个集合
单调递减
上一个集合包含下一个集合
可数集
可列集
可数集的可数并仍为可数集
Q为可数集
有限个可数集的直积仍为可数集
整系数多项式为可数集
代数数为可数集
所有不相交的开区间构成的集合为可数集
区间上单调函数间断点构成的集合为可数集或有限集
无限集并上可数集，基数不变
p进数
(0,1]中任一数可表示为p进无限小数
二元序列全体基数为c
可数集的幂集基数为c
Bernstein定理
Cantor集
定义
性质
闭集
无内点
完全集
基数为c
测度为0
测度
一般的测度可见测度论
（Lebesgue）外测度
定义
覆盖集合的开区间长度和的下界
性质
保序性
次可数可数可加性
不等号严格成立的例子
假设不存在
通过选择公理在等价类中各选取一个元素组成集合V
取[-2,2]上的所有有理数与V形成陪集，由平移不变性证明它们测度都为|V|
所有的陪集覆盖[-1,1]区间
分别计算不等式两边的测度，矛盾
平移不变性
σ-代数
完备σ-代数
Borel集
所有开集生成的σ-代数
包含所有开集的最小σ-代数
Lebesgue测度
Borel测度的一种完备化
Caratheodory条件
零测集
测度为0的集合一定可测
可数集测度都为0
存在测度为0的不可数集(如Cantor集)
零测集子集仍为零测集
极限
单调递增函数
单调递减函数
需要特别关注测度不能为无穷的条件
任意有极限的可测集列（测度不为无穷）
等价条件（开集）
对于闭集也有类似的条件
集合E Lebsegue可测
可测函数
没特别提及时均指Lebesgue可测函数
定义
所有开集的原像都是可测集
Lebesgue可测函数的充要条件
经过运算仍可测
最大/小值
函数正/副部
绝对值
乘以系数
四则运算
函数列的上/下确界
函数列的上/下极限
若f可测,g连续,则gf可测
常见可测函数
常值函数
单调递增（递减）函数
特征函数
连续函数
简单函数
通过简单函数逼近
收敛性
极限的集合表示
一致收敛
基本一致收敛（近一致收敛）
函数基本一致收敛则依测度收敛
几乎处处（almost convergence）
几乎处处有限
无穷的原像的测度为0
几乎处处收敛的条件
E的测度有限时
Egmov定理
E的测度有限时，几乎处处收敛的可测函数基本一致收敛
依测度收敛
Riesz定理
依测度收敛的可测函数列存在几乎处处收敛的子列
本性有界
依测度Cauchy列
不同收敛间的关系
Luzin定理
说明可测函数与连续函数差别不大
第一形式
可测函数f在任意测度接近E的闭子集F上连续
第二形式
存在全集上的连续函数g在E上以任意测度逼近有限可测函数f
第三形式
存在全集上的连续函数列在E上几乎处处收敛于有限可测函数f
Lp空间
Lp范数
共轭指标（数）
Young不等式
Holder不等式
在L2空间中与Cauchy不等式相同
推论
指标越大空间越小
插值不等式
Minkowski不等式
证明了Lp范数的三角不等式成立
性质
完备性
可分性
自反性
设p,q为共轭指标,Lp的共轭空间为Lq
L2内积空间
是一个Hilbert空间
L2空间中的Fourier变换
微分
Vital覆盖定理
Fubini定理（逐项求导）
Lebesgue定理
有界变差函数
性质
有界变差函数有界
[a,b]上的有界变差函数全体BV[a,b]是R上的代数
Jordan分解
不唯一
有界变差函数可分解为两个单调递增函数之差
绝对连续函数
性质
绝对连续函数一致连续
[a,b]上的绝对连续函数全体AC[a,b]是R上的代数
可积函数的变上限积分是绝对连续函数
导数几乎处处为0的绝对连续函数是常值函数
积分
逐层定义法
非负简单函数的积分
非负可测函数的积分
一般可测函数的积分
正部和负部的积分存在（即有限）一个则积分有定义，积分均存在则函数可积
可积条件
绝对值小于某一可积函数的函数可积
函数可积当且仅当绝对值可积，且积分值满足绝对值积分不等式
有限测度集合E上的有界函数可积
性质
线性性
保序性
积分集合的分割
几乎处处相等的函数积分相同
零测集上的函数积分为0
集合保序性
可积函数几乎处处有限
几乎处处非负的函数若积分为0则函数几乎处处为0
Chebyshev不等式
绝对连续性
总能取到子集A使可积函数在A上的积分任意小
极限与积分的关系
Levi定理
内容
收敛的单调递增函数列积分和极限可交换次序
推论
非负可测函数列求和符号和积分号可交换次序
Fatou引理
反Fatou引理
Lebesgue控制收敛定理
含参变量积分
Riemann积分与Lebesgue积分的关系
函数Riemann可积当且仅当函数几乎处处连续
Riemann可积函数Lebesgue可积
若函数Riemann可积,则函数绝对值Riemann可积当且仅当函数Lebesgue可积（常义积分、无穷积分、瑕积分）
重积分
截口
Tonelli定理
Fubini定理
几何意义
非负可测函数的图形测度为0
非负可测函数下的图形测度等于函数在E上的积分
LS积分